Analisi-zeri di una funzione
ciao,vorrei sapere come poter risolvere questo esercizio:
Si consideri la seguente equazione:
e^kx + x = 0
Per quali k reali l’equazione ammette soluzioni reali?
ho provato con l'intersezione tra le due curve e^kx e x ma non riesco a risolverlo!!grazie!!
Si consideri la seguente equazione:
e^kx + x = 0
Per quali k reali l’equazione ammette soluzioni reali?
ho provato con l'intersezione tra le due curve e^kx e x ma non riesco a risolverlo!!grazie!!
Risposte
benvenuto/a nel forum.
secondo me ti conviene distinguere i casi di k positivo, nullo e negativo, e considerare le curve $y=e^(kx)$ e $y=-x$.
ciao.
secondo me ti conviene distinguere i casi di k positivo, nullo e negativo, e considerare le curve $y=e^(kx)$ e $y=-x$.
ciao.
Devi fare l'intersezione delle curve $e^(kx)$ e $-x$. Vedi subito che:
se $k>1 V k=1$ l'equazione ha soluzione (ragionando sul grafico di $e^x$)
se $k<-1 V k=-1$ l'equazione non ha soluzione (ragionando sul grafico di $(1/e)^x$)
se $k=0$ l'equazione ha soluzione in quanto $e^(kx)$ diventa costante
negli altri casi...non saprei risponderti per ora!
se $k>1 V k=1$ l'equazione ha soluzione (ragionando sul grafico di $e^x$)
se $k<-1 V k=-1$ l'equazione non ha soluzione (ragionando sul grafico di $(1/e)^x$)
se $k=0$ l'equazione ha soluzione in quanto $e^(kx)$ diventa costante
negli altri casi...non saprei risponderti per ora!
Ti conviene studiare la funzione $f(x)=e^(kx)+x$ prima per k>0 poi k<0 e infine k=0....
es k>0, poi li altri provi a farli te...
fai il limite a più inf= più inf
limite a meno inf= meno inf
calcoli f'(x) e studi la monotonia e trovi $f'(x)=ke^(kx)$ che è maggiore di zero per ogni x (sempre e solo con k maggiore di zero)
ergo f(x) sempre crescente, a meno infinito va a meno infinito a più infinito va a più infinito ergo una sola soluzione.
prova a fare il resto sennò chiedi
es k>0, poi li altri provi a farli te...
fai il limite a più inf= più inf
limite a meno inf= meno inf
calcoli f'(x) e studi la monotonia e trovi $f'(x)=ke^(kx)$ che è maggiore di zero per ogni x (sempre e solo con k maggiore di zero)
ergo f(x) sempre crescente, a meno infinito va a meno infinito a più infinito va a più infinito ergo una sola soluzione.
prova a fare il resto sennò chiedi
"Knuckles":
Ti conviene studiare la funzione $f(x)=ke^(kx)+1$ prima per k>0 poi k<0 e infine k=0....
es k>0, poi li altri provi a farli te...
fai il limite a più inf= più inf
limite a meno inf= meno inf
calcoli f'(x) e studi la monotonia e trovi $f'(x)=ke^(kx)$ che è maggiore di zero per ogni x (sempre e solo con k maggiore di zero)
ergo f(x) sempre crescente, a meno infinito va a meno infinito a più infinito va a più infinito ergo una sola soluzione.
prova a fare il resto sennò chiedi
grazie per il suggerimento!!questa parte ero riuscita a farla,anche k=o viene una sola soluzione,non riesco però ad analizzarla per k<0.
ok la faccio e ti dico...
per k<0 a meno inf va a più inf e più inf va a meno inf
studiando la derivata che è la stessa di prima viene un minimo per $x=1/(ke^(1/x))=m$ poi fai f(m) e viene $ke^(1/e^(1/k))+1$ se tale valore della y è maggiore di zero non ci sono soluzioni, se è uguale a zero ce ne è una e se è minore di zero due soluzioni... ciao
studiando la derivata che è la stessa di prima viene un minimo per $x=1/(ke^(1/x))=m$ poi fai f(m) e viene $ke^(1/e^(1/k))+1$ se tale valore della y è maggiore di zero non ci sono soluzioni, se è uguale a zero ce ne è una e se è minore di zero due soluzioni... ciao
"Knuckles":
per k<0 a meno inf va a più inf e più inf va a meno inf
studiando la derivata che è la stessa di prima viene un minimo per $x=1/(ke^(1/x))=m$ poi fai f(m) e viene $ke^(1/e^(1/k))+1$ se tale valore della y è maggiore di zero non ci sono soluzioni, se è uguale a zero ce ne è una e se è minore di zero due soluzioni... ciao
Ma se k>0 e cerchi le intersezioni tra y=e^kx e y=-x c'è sempre una soluzione!
per k maggiore di zero una soluzione.... si
si perchè la derivata è somma di cose positive quindi sempre maggiore di zero quindi sembre crescente...
è inoltre continua quindi non hai problemi...
è inoltre continua quindi non hai problemi...
cmq direi che se k è minore di zero f(m) è sempre negativo... quindi per k<0 ci sono duie soluzioni ciao e nottew
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