Analisi Volume Solido

[SpartanLore]

Salve a tutti! avrei un problemino con questo esercizio "calcolare il volume del seguente solido"

$D={(x,y,z)€RR^3 : 36x^2 + 4y^2 + 1 <= z <= 6}$

Sicuramente sará semplice, però di solito ho svolto diverse tipologie di esercizio, e con questo non so dove mettere le mani, ho la soluzione del mio professore ma non riesco a capire alcuni passaggi.. Comunque io procederei nel seguente modo (dopo metto la soluzione del professore, che sicuramente è giusta ma non comprendo fino infondo):
$ 36x^2 + 4y^2 <= 5 $
$ x^2/(5/36) + y^2/(5/4) <= 1$
Quindi le soluzioni si trovano dentro questa ellisse, e per trovarle farei:
$\int int_{D} x^2/(5/36) + y^2/(5/4) -1 dxdy$
Utilizzando le cordinate polari

Sicuramente avrò fatto confusione .. Il mio professore fa così:
$x^2/((z-1)/36) + y^2/((z-1)/4)=1$
$int_{1}^{6} (pi(z-1))/12 dz$

Sicuramente è fatto bene ma non ne ho idea di come si arrivato all'integrale.. Qualcuno può aiutarmi?

[gugo82]

Ti dico come farei io, innanzitutto.

Il tuo solido $D$ è delimitato dal piano di equazione \(z=6\) ("tappo superiore") e dalla superficie di equazione \(z=36x^2+4y^2+1\) ("tappo inferiore"), che è un paraboloide ellittico concavo.

La proiezione di $D$ sul piano \(Oxy\) è l'insieme individuato dalla limitazione \(36x^2+4y^2\leq 5\), ossia la regione interna alla ellisse con semiassi \(a=\frac{\sqrt{5}}{6}\) e \(b=\frac{\sqrt{5}}{2}\) e centro \(O\).

Introdotte le coordinate cilindriche-ellittiche:
\[
\begin{cases}
x=a\ r\ \cos \theta\\
y=b\ r\ \cos \theta
z=h
\end{cases}
\]
(\(a\) e \(b\) sono quelli di sopra), il tuo insieme rimane individuato, rispetto alle nuove coordinate, dalle limitazioni:
\[
0\leq r\leq 1,\quad 0\leq \theta\leq 2\pi,\quad 5r^2 + 1 \leq h\leq 6
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\operatorname{vol} (D) &= \int_0^1 \int_0^{2\pi} \left( \int_{5r^2 + 1}^6 ab\ r\ \text{d}h\right) \text{d}r \text{d} \theta\\
&= 10\pi\ ab\ \int_0^1 r\ (1-r^2)\ \text{d} r\\
&=-\frac{5}{2}\pi\ ab\ \left[ (1-r^2)^2\right]_0^1\\
&=\frac{5}{2}\pi\ ab\\
&=\frac{25}{24}\pi \; .
\end{split}
\]

Il contariello del tuo docente conduce allo stesso risultato, ovviamente, dato che sta calcolando l'integrale "per strati".

Infatti, immagina di fissare \(h\in [1,6]\): il piano \(z=h\) taglia il tuo solido in una sezione \(D_h\) la cui proiezione sul piano \(Oxy\) è individuata dalla limitazione \(36x^2+4y^2+1\leq h\), cosicché essa è la regione interna all'ellisse di centro $O$ e semiassi \(a_h= \frac{\sqrt{h-1}}{6}\) e \(b_h=\frac{\sqrt{h-1}}{2}\).
Ora, per una nota conseguenza del teorema di Fubini hai:
\[
\operatorname{vol} (D) = \int_1^6 \operatorname{area}(D_h)\ \text{d} h
\]
e, per un noto fatto di Geometria Elementare, hai:
\[
\operatorname{area}(D_h) = \pi\ a_hb_h = \frac{\pi}{12}\ (h-1)\; ,
\]
da cui la formula:
\[
\operatorname{vol} (D) = \int_1^6 \frac{\pi}{12}\ (h-1)\ \text{d} h
\]
che ti ritrovi nelle soluzioni.

[SpartanLore]

Sei stato no gentile, di più! Grazie mille mi hai chiarito molti dubbi davvero!!!