Analisi uno

[Sk_Anonymous]

1)
Data la funzione $phi(x)=(1-x)/(ln|x|)$,determinare il dominio e prolungarla ove possibile.
Detta $f(x)$ la nuova funzione ottenuta:
i) studiarne il segno e i limiti utili;
ii) calcolarne la derivata prima;
iii) individuare eventuali punti in cui non è derivabile,specificandone la natura;
iv) studiare il segno di $f'(x)$.

2)
Data la funzione $f(x)=ln(x+1)+1/(1-|x-2|)$:
i) determinare il dominio;
ii) eventuali asintoti;
iii) crescenza;
iv) indicare eventuali punti di non derivabilità;
v) calcolare:$int_(3/2)^(5/2)f(x)dx$.

[_nicola de rosa]

"ENEA84":1)
Data la funzione $phi(x)=(1-x)/ln|x|$,determinare il dominio e prolungarla ove possibile.
Detta $f(x)$ la nuova funzione ottenuta:
i) studiarne il segno e i limiti utili;
ii) calcolarne la derivata prima;
iii) individuare eventuali punti in cui non è derivabile,specificandone la natura;
iv) studiare il segno di f'(x).

2)
Data la funzione $f(x)=ln(x+1)+1/(1-|x-2|)$:
i) determinare il dominio;
ii) eventuali asintoti;
iii) crescenza;
iv) indicare eventuali punti di non derivabilità;
v) calcolare:$int(3/2)^(5/2)f(x)dx$.

2) Dominio :
a)$x+1>0$ $->$ $x> -1$
b)$|x-2|$ diverso da $1$ cioè $x$ diverso da $1$ e $3$
Per cui dominio:$(-1,1) U (1,3) U(3,+infty)$
2)Asintoti:
$x=-1$ asintoto verticale, inlatti $lim_(x->-1^+)f(x)=-infty$
$x=1$ asintoto verticale, infatti $lim_(x->1^+)f(x)=+infty$ e $lim_(x->1^-)f(x)=-infty$
$x=3$ asintoto verticale, infatti $lim_(x->3^+)f(x)=-infty$ e $lim_(x->3^-)f(x)=+infty$
Non ci sono asintoti orizzontali, infatti $lim_(x->+infty)f(x)=+infty$
Non ci sono asintoti obliqui, infatti $lim_(x->+infty)f(x)/x=0$
3)Crescenza:
Se $x>2$ allora $f_1(x)=ln(x+1)+1/(3-x)$ per cui $f'_1(x)=1/(x+1)+1/((3-x)^2)=(x^2-5x+10)/((x+1)(3-x)^2)$ per cui per $x>2$ $f_1(x)$ è sempre crescente
Se $x<2$ allora $f_2(x)=ln(x+1)+1/(x-1)$ per cui $f'_2(x)=1/(x+1)-1/((x-1)^2)=(x^2-3x)/((x+1)(3-x)^2)$ per cui
$f'_2(x)>0$ $->$ $-1$ $0 4)$int_{3/2}^{5/2}f(x)dx=int_{3/2}^{5/2}ln(x+1)dx+int_{2}^{5/2}[1/(3-x)]dx+int_{3/2}^{2}[1/(x-1)]dx$
Ora $int ln(x+1)dx=xln(x+1)-intx/(x+1)dx=xln(x+1)-x+ln(|x+1|)=(x+1)ln(|x+1|)-x+C$ da cui
$int_{3/2}^{5/2}f(x)dx=int_{3/2}^{5/2}[ln(x+1)]dx+int_{2}^{5/2}[1/(3-x)]dx+int_{3/2}^{2}[1/(x-1)]dx$=
$[(x+1)ln(|x+1|)-x]_{3/2}^{5/2}+[-ln(|3-x|)]_{2}^{5/2}+[ln(|x-1|)]_{3/2}^{2} =7/2ln(7/2)-5/2ln(5/2)-2ln(1/2)-1$

[_nicola de rosa]

"ENEA84":1)
Data la funzione $phi(x)=(1-x)/(ln|x|)$,determinare il dominio e prolungarla ove possibile.
Detta $f(x)$ la nuova funzione ottenuta:
i) studiarne il segno e i limiti utili;
ii) calcolarne la derivata prima;
iii) individuare eventuali punti in cui non è derivabile,specificandone la natura;
iv) studiare il segno di $f'(x)$.

2)
Data la funzione $f(x)=ln(x+1)+1/(1-|x-2|)$:
i) determinare il dominio;
ii) eventuali asintoti;
iii) crescenza;
iv) indicare eventuali punti di non derivabilità;
v) calcolare:$int_(3/2)^(5/2)f(x)dx$.

1) Dominio :
a) $|x|>0$ $->$ $AAx-{0}$
b) $ln|x|$ diverso da $0$ cioè $x$ diverso da $+-1$
per cui il dominio è: $(-infty,-1)U(-1,0)U(0,1)U(1,+infty)$ cioè $R-{-1,0,1}$
Ora $lim_(x->1)(1-x)/(lnx)=lim_(t->0)-t/(ln(t+1))=-lim_(t->0)(ln(t+1)/t)^-1=-(1^-1)=-1$ dove abbiamo fatto la sostituzione $x-1=t$ ed abbiamo sfruttato il limite notevole $lim_(t->0)(ln(t+1)/t)=1$ e inoltre per $x->1$ $|x|=x$. Per cui in $x=1$ è prolungabile per continuità.
Inoltre $lim_(x->0)(1-x)/(ln|x|)=0$
2) Segno:
$(1-x)/(ln|x|)>0$
Falso sistema:
$1-x>0$ $->$ $x<1$
$ln|x|>0$ $->$ $|x|>1$ cioè $x>1$ U $x<-1$
Per cui $(1-x)/(ln|x|)>0$ se $x<-1$
Asintoti:
$lim_(x->-1^-)(1-x)/(ln|x|)=+infty$ e $lim_(x->-1^+)(1-x)/(ln|x|)=-infty$ $->$ $x=-1$ asintoto verticale
Non ci sono asintoti orizzontali perchè $lim_(x->+infty)(1-x)/(lnx)=-infty$ e $lim_(x->-infty)(1-x)/(ln(-x))=+infty$
Non ci sono asintoti obliqui perchè $lim_(x->+-infty)(1-x)/(x(ln|x|))=-lim_(x->+-infty)1/(ln|x|)=0$
3) derivata:
$phi'(x)=(-ln|x|+1-1/x)/(ln^2|x|)$ e qua lo studio richiede un poco più di attenzione che a quest'ora non ho più effettivamente.
Studio del segno $phi'(x)>0$ $->$ $1-1/x>ln|x|$. Graficando su un solo sistema di riferimento le due funzioni $1-1/x$ ed $ln|x|$ si può notare che i punti di intersezione sono $x_1=1$ $x_2=-3.6$ (circa) e dal confronto di come si comportano in $0$ ed all' $infty$ si deriva che
$1-1/x>ln|x|$ per $-3.6

Cita

Segnala

[Sk_Anonymous]

"ENEA84":
2)
Data la funzione $f(x)=ln(x+1)+1/(1-|x-2|)$:
iii) crescenza;

iii) $AAx in D \ {2}$, si ha:

$f'(x)=1/(x+1)+(sgn(x-2))/(1-|x-2|)^2={(1/(x+1)+1/(3-x)^2,x>2),(1/(x+1)-1/(x-1)^2,x<2):}


$sgn=$FUNZIONE SIGNUM$={(1,x>0),(0,x=0),(-1,x<0):}$.

$AAx in D$ tale che $x>2 f'(x)$ è somma di due quantita positive quindi $f(x)$ è crescente;
$AAx in D$ tale che $x<2 f'(x)=(x(x-3))/((x+1)(x-1)^2)>=0 <=> x<=0 v x>=3 => f$ è crescente in $(-1,0)$ e decrescente in $(0,1)U(1,2)$ e l'origine è un punto di max relativo.

[_nicola de rosa]

"ENEA84":[quote="ENEA84"]
2)
Data la funzione $f(x)=ln(x+1)+1/(1-|x-2|)$:
iii) crescenza;

iii) $AAx in D \ {2}$, si ha:

$f'(x)=1/(x+1)+(sgn(x-2))/(1-|x-2|)^2={(1/(x+1)+1/(3-x)^2,x>2),(1/(x+1)-1/(x-1)^2,x<2):}


$sgn=$FUNZIONE SIGNUM$={(1,x>0),(0,x=0),(-1,x<0):}$.

$AAx in D$ tale che $x>2 f'(x)$ è somma di due quantita positive quindi $f(x)$ è crescente;
$AAx in D$ tale che $x<2 f'(x)=(x(x-3))/((x+1)(x-1)^2)>=0 <=> x<=0 v x>=3 => f$ è crescente in $(-1,0)$ e decrescente in $(0,1)U(1,2)$ e l'origine è un punto di max relativo.[/quote]
$(2,ln3+1)$ minimo relativo

[Sk_Anonymous]

"ENEA84":
2)
Data la funzione $f(x)=ln(x+1)+1/(1-|x-2|)$:
iv) indicare eventuali punti di non derivabilità;

L'unico punto di non derivabilità è $x=2$, infatti risulta:

$lim_(x->2^-)f'(x)=lim_(x->2^-)[1/(x+1)-1/(x-1)^2]=-2/3$

$lim_(x->2^+)f'(x)=lim_(x->2^+)[1/(x+1)+1/(3-x)^2]=4/3$

Pertanto $x=2$ è un punto angoloso.

[Sk_Anonymous]

"nicasamarciano":$(2,ln3+1)$ minimo relativo

Non mi risulta!!!ricontrolla!

[_nicola de rosa]

"ENEA84":[quote="ENEA84"]
2)
Data la funzione $f(x)=ln(x+1)+1/(1-|x-2|)$:
iv) indicare eventuali punti di non derivabilità;

L'unico punto di non derivabilità è $x=2$, infatti risulta:

$lim_(x->2^-)f'(x)=lim_(x->2^-)[1/(x+1)-1/(x-1)^2]=-2/3$

$lim_(x->2^+)f'(x)=lim_(x->2^+)[1/(x+1)+1/(3-x)^2]=4/3$

Pertanto $x=2$ è un punto angoloso.[/quote]
giusto, residui della nottata...

[Sk_Anonymous]

Come ti viene il punto di minimo?

a me non risulta che ci sia.

[_nicola de rosa]

"ENEA84":Come ti viene il punto di minimo?

a me non risulta che ci sia.

Infatti è un punto angoloso $(2,ln3+1)$, ti ho risposto residui della nottata...

[Sk_Anonymous]

Ah si riferiva a questo,allora okay!

Comunque è la prima function che dà più problemi,non so dire ove è prolungabile...mah

[fireball1]

La prima funzione è prolungabile con continuità a $x=1$,
infatti ricordiamo che $logx~~x-1$ per $x->1$
e chiaramente essendo in un intorno di 1, $log|x|=logx$
per $x->1$, infatti in tale intorno risulta $x>0$.
Allora si può definire:

$g(x) -= {(phi(x) " se " x!=1),(-1 " se " x=1):}

[_nicola de rosa]

"ENEA84":Ah si riferiva a questo,allora okay!

Comunque è la prima function che dà più problemi,non so dire ove è prolungabile...mah

se vedi il mio post ho fatto un limite che evidenzia la prolungabilità in $x=1$

[fireball1]

Io non l'avevo visto nel tuo post...
Probabilmente l'hai modificato poco fa,
come confermato dalla scritta:

"Ultima modifica di nicasamarciano il 22/09/2006, 10:49, modificato 2 volte in totale"

[Sk_Anonymous]

@nicasamarciano
Ma non si deve fare lo studio della nuova funzione ottenuta?
Se ho detto un'"uccellata" ti autorizzo a schiaffeggiarmi.

[_nicola de rosa]

"fireball":Io non l'avevo visto nel tuo post...
Probabilmente l'hai modificato poco fa,
come confermato dalla scritta:

"Ultima modifica di nicasamarciano il 22/09/2006, 10:49, modificato 2 volte in totale"

il limite cèera già, la cosa aggiunta è il commento: allora $x=1$ è punto di prolungabilità per chi implicitamente non lo avesse capito. Tu nemmeno l'hai capito allora...

[_nicola de rosa]

"ENEA84":@nicasamarciano
Ma non si deve fare lo studio della nuova funzione ottenuta?
Se ho detto un'"uccellata" ti autorizzo a schiaffeggiarmi.

non ho capito

[Sk_Anonymous]

Detta $f(x)$ la nuova funzione ottenuta:
i) studiarne il segno e i limiti utili;
ii) calcolarne la derivata prima; ecc.........

Tu,invece,continui a studiare la $phi(x)$.

[Sk_Anonymous]

L'ho capito....non rispondermi!

[_nicola de rosa]

"ENEA84":Detta $f(x)$ la nuova funzione ottenuta:
i) studiarne il segno e i limiti utili;
ii) calcolarne la derivata prima; ecc.........

Tu,invece,continui a studiare la $phi(x)$.

quale è la differenza sostanziale nello studiare l'una o l'altra?

[Sk_Anonymous]

Sostanzialmente non c'è differenza,ma era espressamente richiesto di studiare la $f(x)$.