[Analisi] Spazi elementari di misura
Se $E \subseteq \mathbb{R}$ è un intervallo, si ponga $m(E) = lunghezza(E \cap (-3,1)) + \int_{E \cap (0,2)} x dx$ e si consideri lo spazio elementare di misura $(\mathbb{R}, E, m)$ ove $E$ è il semianello di intervalli.
Sia $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ data da
- $f(x) = 8 $ se $x \in (0,1)$
- $f(x) = -2 $ se $x \in (1,4)$
- $f(x) = 0$ altrimenti
Quanto vale allora l'integrale $\int_{\mathbb{R}} f(x) dm$??
Non saprei come risolvere questo quesito..mi date una mano a capire come cominciare e almeno come fare???
Ciauz
Sia $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ data da
- $f(x) = 8 $ se $x \in (0,1)$
- $f(x) = -2 $ se $x \in (1,4)$
- $f(x) = 0$ altrimenti
Quanto vale allora l'integrale $\int_{\mathbb{R}} f(x) dm$??
Non saprei come risolvere questo quesito..mi date una mano a capire come cominciare e almeno come fare???
Ciauz
Risposte
puoi vedere il valore dell'integrale così:
$\int_RRf(x)dx=\int_Ef(x)dx+\int_(RR-E)f(x)dx$
Il nostro $RR$ è un intervallo per cui il secondo è zero, quindi basta valutare il primo.
$\int_Ef(x)dx=8*m((0,1))-2*m((1,4))$
a me viene nove... ma sai, sarebbe da verificare;
$\int_RRf(x)dx=\int_Ef(x)dx+\int_(RR-E)f(x)dx$
Il nostro $RR$ è un intervallo per cui il secondo è zero, quindi basta valutare il primo.
$\int_Ef(x)dx=8*m((0,1))-2*m((1,4))$
a me viene nove... ma sai, sarebbe da verificare;
mmm è 9....
2 domande stupide...
- perchè $\int_(RR-E)f(x)dx = 0$
- come ricavi 9 da $\int_Ef(x)dx=8*m((0,1))-2*m((1,4))$
Ciauz e grazie
2 domande stupide...
- perchè $\int_(RR-E)f(x)dx = 0$
- come ricavi 9 da $\int_Ef(x)dx=8*m((0,1))-2*m((1,4))$
Ciauz e grazie
hai ragione non c'entra nulla più semplicemente prendiamo la tua funzione:
fino a 0 vale 0 e il nostro integrale non ci dà nulla;
in $(0,1)$ vale 8 allora ti viene $8*m((0,1))=8*(lungh((0,1))+\int_0^1xdx)=8*(1+1/2)$
in $(1,4)$ vale -2 allora ti viene $-2*m((1,4))=-2*(0+\int_1^2xdx)=-2*(2-1/2)$
dopo 4 la funzione vale zero
sommando i contributi $8*3/2-2*3/2=9$
ora vado a mangiare quando torno verifico di non aver scritto altre stupidate!
fino a 0 vale 0 e il nostro integrale non ci dà nulla;
in $(0,1)$ vale 8 allora ti viene $8*m((0,1))=8*(lungh((0,1))+\int_0^1xdx)=8*(1+1/2)$
in $(1,4)$ vale -2 allora ti viene $-2*m((1,4))=-2*(0+\int_1^2xdx)=-2*(2-1/2)$
dopo 4 la funzione vale zero
sommando i contributi $8*3/2-2*3/2=9$
ora vado a mangiare quando torno verifico di non aver scritto altre stupidate!
capito... non ci avevo pensato... grazie!
Ciauz
Ciauz
altro dubbietto
-$E = E_1 \times E_2 $
- $m(E) = area(E \cap (0, +\infty)^2) + \alpha lungh(E_1 \cap (-\infty, 0))$ e $\alpha = 1$ se $0 \in E_2$, $\alpha = 0$ altrimenti.
-$f: \mathbb{R} \to mathbb{R}$ tale che
$f(x) = 4$ se $x \in (-2,0] \times (-3,0)$
$f(x) = 5$ se $x \in (-2,0] \times [0,3]$
$f(x) = 6$ se $x \in (0,2) \times [0,3]$
$0$ altrimenti
Calcolare $\int_{\mathbb{R}} f(x) dm$ in $(\mathbb{R^2}, E, m)$
Ora... anche usando quanto detto sopra... non arrivo a 46 che è la risposta... il mio problema è quel $area(E \cap (0, +\infty)^2)$ che non so come usare...
Ciauz
-$E = E_1 \times E_2 $
- $m(E) = area(E \cap (0, +\infty)^2) + \alpha lungh(E_1 \cap (-\infty, 0))$ e $\alpha = 1$ se $0 \in E_2$, $\alpha = 0$ altrimenti.
-$f: \mathbb{R} \to mathbb{R}$ tale che
$f(x) = 4$ se $x \in (-2,0] \times (-3,0)$
$f(x) = 5$ se $x \in (-2,0] \times [0,3]$
$f(x) = 6$ se $x \in (0,2) \times [0,3]$
$0$ altrimenti
Calcolare $\int_{\mathbb{R}} f(x) dm$ in $(\mathbb{R^2}, E, m)$
Ora... anche usando quanto detto sopra... non arrivo a 46 che è la risposta... il mio problema è quel $area(E \cap (0, +\infty)^2)$ che non so come usare...
Ciauz
buongiorno!!
bene, premettiamo che la tua funzione va da $RR^2$ in $RR$;
il tuo E sarà un rettangolino, puoi provare a pensarlo in $RR^2$; per calcolare quell'area, prima intersechi con il primo quadrante poi calcoli l'area di ciò che ti rimane (in realtà i questo caso sarà ancora un rettangolino, ma bada bene che non è detto!!!!)
Ora prendiamo il primo: $(-2,0]\times(-3,0)$ che è della forma $E_1\timesE_2$; se lo imaginiamo come rettangolo in $RR^2$ sarà contenuto nel terzo quadrante;, quindi se lo intersechi con $(0,+oo)\times(0,+oo)$ ottieni l'insieme vuoto che ha area nulla; inoltre $0notinE_2$ quindi anche il secondo contributo è nullo
e così via... dato che l'area la devi fare una volta sola ho deciso di non fartela io, almeno provi un po' tu... se però ci dovessero essere problemi chiedi pure... (il risultato è giusto)
bene, premettiamo che la tua funzione va da $RR^2$ in $RR$;
il tuo E sarà un rettangolino, puoi provare a pensarlo in $RR^2$; per calcolare quell'area, prima intersechi con il primo quadrante poi calcoli l'area di ciò che ti rimane (in realtà i questo caso sarà ancora un rettangolino, ma bada bene che non è detto!!!!)
Ora prendiamo il primo: $(-2,0]\times(-3,0)$ che è della forma $E_1\timesE_2$; se lo imaginiamo come rettangolo in $RR^2$ sarà contenuto nel terzo quadrante;, quindi se lo intersechi con $(0,+oo)\times(0,+oo)$ ottieni l'insieme vuoto che ha area nulla; inoltre $0notinE_2$ quindi anche il secondo contributo è nullo
e così via... dato che l'area la devi fare una volta sola ho deciso di non fartela io, almeno provi un po' tu... se però ci dovessero essere problemi chiedi pure... (il risultato è giusto)
andiamo per gradi
Quindi ho
$ (-2,0] \times (-3,0) \cap (0,+oo)\times(0,+oo) = {}$
$ (-2,0] \times [0,3] \cap (0,+oo)\times(0,+oo) = {0,3}$
$ (0,2) \times [0,3] \cap (0,+oo)\times(0,+oo) = {2,3}$
Giusto??
Ciauz
Quindi ho
$ (-2,0] \times (-3,0) \cap (0,+oo)\times(0,+oo) = {}$
$ (-2,0] \times [0,3] \cap (0,+oo)\times(0,+oo) = {0,3}$
$ (0,2) \times [0,3] \cap (0,+oo)\times(0,+oo) = {2,3}$
Giusto??
Ciauz
un secondo... vorrei ricordarti che stiamo pensando in $RR^2$ e poi quelle graffe?? sono un errore di scrittura o di concetto?? purtoppo non sono capace di fare i grafici ma pensa al piano cartesiano $(-2,0]\times[0,3]$ è un rettangolo nel secondo quadrante intersichi con il primo e ottinieni ancora inseme vuoto;
per l'ultimo abbiamo $(0,2)\times[0,3]$ è nel primo quadrante se faccio $(0,2)\times[0,3]\cap(0,+oo)\times(0,+oo)$
ottieni $(0,2)\times(0,3]$ che facendo base per altezza ha area 6.Giusto? fai attenzione il tuo E è un prodotto cartesiano di intervalli: nei nostri tre casi sono rettangoli bidimensionali (cioè rettangoli); anche quel $(0,+oo)\times(0,+oo)$ è un "rettangolo".
per l'ultimo abbiamo $(0,2)\times[0,3]$ è nel primo quadrante se faccio $(0,2)\times[0,3]\cap(0,+oo)\times(0,+oo)$
ottieni $(0,2)\times(0,3]$ che facendo base per altezza ha area 6.Giusto? fai attenzione il tuo E è un prodotto cartesiano di intervalli: nei nostri tre casi sono rettangoli bidimensionali (cioè rettangoli); anche quel $(0,+oo)\times(0,+oo)$ è un "rettangolo".
"andreo":
un secondo... vorrei ricordarti che stiamo pensando in $RR^2$ e poi quelle graffe?? sono un errore di scrittura o di concetto?? purtoppo non sono capace di fare i grafici ma pensa al piano cartesiano $(-2,0]\times[0,3]$ è un rettangolo nel secondo quadrante intersichi con il primo e ottinieni ancora inseme vuoto;
per l'ultimo abbiamo $(0,2)\times[0,3]$ è nel primo quadrante se faccio $(0,2)\times[0,3]\cap(0,+oo)\times(0,+oo)$
ottieni $(0,2)\times(0,3]$ che facendo base per altezza ha area 6.Giusto? fai attenzione il tuo E è un prodotto cartesiano di intervalli: nei nostri tre casi sono rettangoli bidimensionali (cioè rettangoli); anche quel $(0,+oo)\times(0,+oo)$ è un "rettangolo".
ok... quindi devo pensarli come rettangolini da intersecare con quadranti e quindi poi fare base x altezza con i due intervalli?
Ma cmq $ (-2,0] \times (-3,0) \cap(0,+oo)\times(0,+oo)$ da vuoto, no?
Ciauz
P.S: lo so che sono cose stupide ma mi sono perso un attimo
Sì mi sembra tutto ok.. unica precisazione: io parlavo di quadrante perchè effettivamente $(0,+oo)\times(0,+oo)$ è il primo quadrante del piano cartesiano ma potremmo parlare comunque di rettangolo, basta intendersi!! Semmai, per vedere se ci siamo intesi potresti postare la tua soluzione!(magari spiegando un po' 
)
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"andreo":
Sì mi sembra tutto ok.. unica precisazione: io parlavo di quadrante perchè effettivamente $(0,+oo)\times(0,+oo)$ è il primo quadrante del piano cartesiano ma potremmo parlare comunque di rettangolo, basta intendersi!! Semmai, per vedere se ci siamo intesi potresti postare la tua soluzione!(magari spiegando un po'
ora pranzo... poi provo a buttare giù la soluzione... uff il 19 ho lo scritto...
Cmq grazie mille per la pazienza
Ciauz
vai tranquillo... se c'è un esercizio così è un punto guadagnato!! basta solo capirlo poi assicuro che sarà facilissimo farlo!buon appetito
ho visto che bene o male uno così c'è quasi sempre negli anni passati...
Ciauz vado che la pasta bolle
Ciauz vado che la pasta bolle
ho capito ora... è facile.. mi ero proprio perso in una pozanghera di acqua
Ciauz
Ciauz
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