Analisi Reale Funzione

[achilles66]

Come si può dimostrare che questo limite lim( lim(cos(k!pigreco* x))^(2j)) con j sul primo limite e k sul secondo (quello che contiene il cos) che tendono a infinito è la funzione di Dirichlet?

[Noisemaker]

Se il limite è questo
$$\lim_{m\to+\infty}\left(\lim_{n\to+\infty}(\cos (m!\pi x))^n\right),\qquad x\in \mathbb{R},$$

allora è conveniente considerare due casi

[*:qc9r16z8] se $x\in\mathbb{Q}$ allora sarà della forma $p/q$ con $p,q\in \mathbb{N};$ poichè $m\to+\infty$ avremo che $m>q$ e il numero $m!\cdot p/q$ è pari, quindi $\cos (\pi m!\cdot p/q) =1:$
$$\lim_{m\to+\infty}\left(\lim_{n\to+\infty}(\cos (m!\pi x))^n\right)=\ \lim_{n\to+\infty}(1)^n=1; $$ [/*:m:qc9r16z8]
[*:qc9r16z8] se $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ si ha che $|\cos t|=1$ se $t=k\pi$ con $k\in\mathbb{Z};$ ne segue allora che per ogni $m\in\mathbb{N},$ $m!\pi x$ non è multiplo intero di $\pi$ e qundi $|\cos (m!\pi x)|<1$ pertanto $(\cos (m!\pi x))^n\to0;$ si conclude che
\begin{align*}
\lim_{m\to+\infty}\left(\lim_{n\to+\infty}(\cos (m!\pi x))^n\right)=\begin{cases}1&\mbox{se}\quad x\in\mathbb{Q}\\0&\mbox{se}\quad x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases}.
\end{align*}[/*:m:qc9r16z8][/list:u:qc9r16z8]

[achilles66]

Grazie. Risposta chiara e completa. Complimenti!!