Analisi reale
Ciao a tutti, vorrei porvi la seguente domanda : Data una funzione f in Lp per p in [1;2], come dimostrare che la norma p di f tende alla norma uno di f per p che tende a 1+ ?
Risposte
Ciao Relegal, benvenuto nel forum. Dai un'occhiata al regolamento, o almeno alla sua forma ridotta, per favore. Inoltre ti segnalo espressamente il link alle istruzioni per scrivere le formule.
Per venire al tuo problema, se ne è già parlato varie volte, l'ultima qui. Ti consiglio, per le prossime volte, di usare la funzione "cerca" (trovi il collegamento in alto, subito sotto il banner pubblicitario). Grazie.
Per venire al tuo problema, se ne è già parlato varie volte, l'ultima qui. Ti consiglio, per le prossime volte, di usare la funzione "cerca" (trovi il collegamento in alto, subito sotto il banner pubblicitario). Grazie.
Ah no, nel link che ho scritto si parla solo del caso $p \to \infty$, a te invece serve $p \to 1^+$.
P.S: Mi ricordo di aver dimostrato questa proposizione tempo fa basandomi sui suggerimenti dati dal libro di Rudin Real and complex analysis. Le tecniche usate erano la disuguaglianza di Hoelder e il lemma di Fatou. Riporto la traccia dell'esercizio:
L'esercizio del Rudin continua ma questi due punti sono più che sufficienti per i tuoi scopi. Il punto a) è immediato se conosci la disuguaglianza di interpolazione. Per il b) c'è da lavorare un po'. Ricordati che una funzione convessa è continua nell'interno del proprio intervallo di definizione, quindi ciò che devi fare è mostrare la continuità agli estremi di $E$. Mi pare di avere usato il lemma di Fatou.
Spero ti possano servire questi suggerimenti.
P.S: Mi ricordo di aver dimostrato questa proposizione tempo fa basandomi sui suggerimenti dati dal libro di Rudin Real and complex analysis. Le tecniche usate erano la disuguaglianza di Hoelder e il lemma di Fatou. Riporto la traccia dell'esercizio:
Suppose $f$ is a complex measurable function on $X$, $\mu$ is a positive measure on $X$ and
[tex]\varphi(p)= \int_X |f|^p\, d\mu = \lVert f \rVert ^p _p \quad (0 < p < \infty )[/tex]
Let $E= {p\ :\ \phi(p) < \infty }$.
a) If $r < p < s, r \in E$ and $s \in E$, prove that $p \in E$.
b) Prove that $log phi$ is convex in the interior of $E$ and that $phi$ is continuous on $E$. [...]
L'esercizio del Rudin continua ma questi due punti sono più che sufficienti per i tuoi scopi. Il punto a) è immediato se conosci la disuguaglianza di interpolazione. Per il b) c'è da lavorare un po'. Ricordati che una funzione convessa è continua nell'interno del proprio intervallo di definizione, quindi ciò che devi fare è mostrare la continuità agli estremi di $E$. Mi pare di avere usato il lemma di Fatou.
Spero ti possano servire questi suggerimenti.
Stamattina avevo infatti provato ad utilizzare la funzione cerca che mi ha suggerito e avevo trovato quella discussione nella quale, però, si parlava appunto solo del caso infinito ! Ho provato a fare qualche ulteriore ricerca inserendo ad esempio " continuità norma " o simili ma non ho trovato. Comunque grazie dei consigli utili dato che, come si sarà notato, era la prima volta che scrivevo nel forum !
Edit: Molte grazie anche per il post scriptum, ora mi tocca ragionare. Grazie ancora.
Edit: Molte grazie anche per il post scriptum, ora mi tocca ragionare. Grazie ancora.
"Relegal":Spero che sia un errore di battitura e non che tu mi stia dando del "lei" !
Stamattina avevo infatti provato ad utilizzare la funzione cerca che mi ha suggerito e avevo trovato quella discussione nella quale, però, si parlava appunto solo del caso infinito !
Qui sul forum non si usa. Comunque ho modificato il messaggio precedente aggiungendo qualcosa, vedi un po' se ti può servire.
Ah un'altra cosa: sul libro di Rudin è definita la "norma" p per $0 < p <= \infty$, mentre in genere si richiede che sia $1 <= p <= \infty$, perché solo con questa condizione $|| * ||_p$ è effettivamente una norma. Non ti fare confondere da questo fatto (come è capitato a me
) .
Ci sei riuscito? L'esercizio di Rudin che ho postato in effetti esagera un po' al punto b), per i nostri scopi è sufficiente dimostrare che [tex]\varphi[/tex] è convessa, e non che [tex]\log \circ \varphi[/tex] lo è (quest'ultima conclusione implica la prima, come ti puoi accorgere applicando [tex]\exp[/tex], che è convessa, ad ambo i membri di [tex]\log \circ \varphi [(1- \lambda) p_1 + \lambda p_2] \le (1 - \lambda)\log \circ \varphi (p_1) + \lambda \log \circ \varphi (p_2)[/tex]). Scrivo la mia soluzione, e l'applicazione al tuo problema, con questo indebolimento della tesi.
Sia [tex](X, \mu)[/tex] uno spazio di misura ed [tex]f \colon X \to [0, \infty][/tex] misurabile. (Prendo direttamente una funzione positiva, nel caso generale si potrà applicare quanto segue a [tex]\lvert f \rvert[/tex]). Per ogni [tex]p \in [1, \infty)[/tex] definiamo [tex]\varphi(p) = \int_X f^p = \lVert f \rVert _p ^ p[/tex] e [tex]E=\{ p \in [1 , \infty) \ :\ \varphi(p) < \infty \}[/tex]. Questo insieme è un intervallo, come consegue subito dalla disuguaglianza di interpolazione. Infatti siano [tex]p < r < q[/tex] con [tex]p, q \in E[/tex], e sia [tex]\theta \in (0, 1)[/tex] tale che [tex]\frac{1}{r} = (1-\theta) \frac{1}{p}+ \theta \frac{1}{q}[/tex]: allora [tex]\lVert f \rVert _r \le \lVert f \rVert _p ^{1-\theta} \lVert f \rVert _ q ^\theta < \infty[/tex] quindi è anche [tex]\varphi(r) = \lVert f \rVert _r ^r < \infty[/tex], ovvero [tex]r \in E[/tex].
Questo dimostra il punto a).
Affermiamo ora che [tex]\varphi[/tex] è convessa. Questo segue dalla disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica (pesate): [tex]\begin{equation} \forall a, b >0 , \forall \lambda \in [0, 1] \quad a^{1-\lambda} b ^\lambda \le (1-\lambda)a + \lambda b \end {equation}[/tex]
(La (1) si dimostra facilmente usando la convessità di [tex]\exp[/tex]). Applichiamo questa disuguaglianza con [tex]a = f^{p_1}, b= f^{p_2},\ p_1, p_2 \in E[/tex]:
[tex]\displaymath f^{(1-\lambda) p_1 + \lambda p_2 } = [f^{p_1}]^{1-\lambda} [f^{p_2}]^{\lambda} \le (1-\lambda) f^{p_1} + \lambda f ^{p_2}[/tex]
Integrando ambo i membri si ottiene la disuguaglianza di convessità per [tex]\varphi[/tex].
Affermiamo poi che [tex]\varphi[/tex] è continua su [tex]E[/tex]. Ricordiamo che [tex]E[/tex] è un intervallo: dal momento che una funzione convessa è continua nell'interno del proprio intervallo di definizione, sarà sufficiente mostrare la continuità negli estremi nel caso [tex]E[/tex] non sia un intervallo aperto. Supponiamo quindi che [tex]p_0[/tex] sia un estremo dell'intervallo [tex]E[/tex], e sia [tex](p_n)[/tex] una successione in [tex]E[/tex], [tex]p_n \to p_0[/tex]. Dalla convessità di [tex]\varphi[/tex] ricaviamo la disuguaglianza (di semicontinuità superiore [size=75](*)[/size])
[tex]\displaymath \limsup_{n\to \infty} \varphi(p_n) \le \varphi(p_0) \quad[/tex] (2)
Ora applichiamo il lemma di Fatou, che ci fornirà la disuguaglianza di semicontinuità inferiore:
[tex]\displaymath f(x) ^ {p_n} \to f(x) ^ {p_0} \quad \text{q.o. in}\ X \Rightarrow \\
\int_X f(x)^{p_0} \le \liminf_{n \to \infty} \int_X f(x)^{p_n} \iff \varphi(p_0) \le \liminf_{n\to \infty} \varphi (p_n)[/tex]
Quest'ultima disuguaglianza, unita alla (2), prova la continuità di [tex]\varphi[/tex] in [tex]p_0[/tex].
Infine veniamo al tuo caso specifico. Supponiamo che [tex]f \in L^p ( \mu)[/tex] per ogni [tex]p \in [1, 2][/tex]. In particolare, [tex]E[/tex] contiene l'intervallo [tex][1, 2][/tex], quindi [tex]\varphi[/tex] è ben definita e continua in [tex][1, 2][/tex]. E' quindi ben definita e continua la funzione [tex]\varphi(p) ^ {1/p} = \lVert f \rVert _p[/tex]. In particolare, [tex]\lim_{p \to 1 ^+} \lVert f \rVert _p = \lVert f \rVert _1 \quad[/tex] /////
Naturalmente non escludo che ci siano soluzioni molto più facili di questa, che passa dalla convessità ed è un po' pesante come notazioni.
_________________________________
(*) Questo si capisce graficamente: se una funzione convessa è definita in un estremo e discontinua, l'unica possibilità è che abbia un comportamento del genere
(click per ingrandire)
quindi, data una successione convergente a [tex]b[/tex], essa è definitivamente maggiorata dal valore che la funzione assume in [tex]b[/tex] (quel puntone nero), da cui la disuguaglianza passando al limite superiore.
Sia [tex](X, \mu)[/tex] uno spazio di misura ed [tex]f \colon X \to [0, \infty][/tex] misurabile. (Prendo direttamente una funzione positiva, nel caso generale si potrà applicare quanto segue a [tex]\lvert f \rvert[/tex]). Per ogni [tex]p \in [1, \infty)[/tex] definiamo [tex]\varphi(p) = \int_X f^p = \lVert f \rVert _p ^ p[/tex] e [tex]E=\{ p \in [1 , \infty) \ :\ \varphi(p) < \infty \}[/tex]. Questo insieme è un intervallo, come consegue subito dalla disuguaglianza di interpolazione. Infatti siano [tex]p < r < q[/tex] con [tex]p, q \in E[/tex], e sia [tex]\theta \in (0, 1)[/tex] tale che [tex]\frac{1}{r} = (1-\theta) \frac{1}{p}+ \theta \frac{1}{q}[/tex]: allora [tex]\lVert f \rVert _r \le \lVert f \rVert _p ^{1-\theta} \lVert f \rVert _ q ^\theta < \infty[/tex] quindi è anche [tex]\varphi(r) = \lVert f \rVert _r ^r < \infty[/tex], ovvero [tex]r \in E[/tex].
Questo dimostra il punto a).
Affermiamo ora che [tex]\varphi[/tex] è convessa. Questo segue dalla disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica (pesate): [tex]\begin{equation} \forall a, b >0 , \forall \lambda \in [0, 1] \quad a^{1-\lambda} b ^\lambda \le (1-\lambda)a + \lambda b \end {equation}[/tex]
(La (1) si dimostra facilmente usando la convessità di [tex]\exp[/tex]). Applichiamo questa disuguaglianza con [tex]a = f^{p_1}, b= f^{p_2},\ p_1, p_2 \in E[/tex]:
[tex]\displaymath f^{(1-\lambda) p_1 + \lambda p_2 } = [f^{p_1}]^{1-\lambda} [f^{p_2}]^{\lambda} \le (1-\lambda) f^{p_1} + \lambda f ^{p_2}[/tex]
Integrando ambo i membri si ottiene la disuguaglianza di convessità per [tex]\varphi[/tex].
Affermiamo poi che [tex]\varphi[/tex] è continua su [tex]E[/tex]. Ricordiamo che [tex]E[/tex] è un intervallo: dal momento che una funzione convessa è continua nell'interno del proprio intervallo di definizione, sarà sufficiente mostrare la continuità negli estremi nel caso [tex]E[/tex] non sia un intervallo aperto. Supponiamo quindi che [tex]p_0[/tex] sia un estremo dell'intervallo [tex]E[/tex], e sia [tex](p_n)[/tex] una successione in [tex]E[/tex], [tex]p_n \to p_0[/tex]. Dalla convessità di [tex]\varphi[/tex] ricaviamo la disuguaglianza (di semicontinuità superiore [size=75](*)[/size])
[tex]\displaymath \limsup_{n\to \infty} \varphi(p_n) \le \varphi(p_0) \quad[/tex] (2)
Ora applichiamo il lemma di Fatou, che ci fornirà la disuguaglianza di semicontinuità inferiore:
[tex]\displaymath f(x) ^ {p_n} \to f(x) ^ {p_0} \quad \text{q.o. in}\ X \Rightarrow \\
\int_X f(x)^{p_0} \le \liminf_{n \to \infty} \int_X f(x)^{p_n} \iff \varphi(p_0) \le \liminf_{n\to \infty} \varphi (p_n)[/tex]
Quest'ultima disuguaglianza, unita alla (2), prova la continuità di [tex]\varphi[/tex] in [tex]p_0[/tex].
Infine veniamo al tuo caso specifico. Supponiamo che [tex]f \in L^p ( \mu)[/tex] per ogni [tex]p \in [1, 2][/tex]. In particolare, [tex]E[/tex] contiene l'intervallo [tex][1, 2][/tex], quindi [tex]\varphi[/tex] è ben definita e continua in [tex][1, 2][/tex]. E' quindi ben definita e continua la funzione [tex]\varphi(p) ^ {1/p} = \lVert f \rVert _p[/tex]. In particolare, [tex]\lim_{p \to 1 ^+} \lVert f \rVert _p = \lVert f \rVert _1 \quad[/tex] /////
Naturalmente non escludo che ci siano soluzioni molto più facili di questa, che passa dalla convessità ed è un po' pesante come notazioni.
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(*) Questo si capisce graficamente: se una funzione convessa è definita in un estremo e discontinua, l'unica possibilità è che abbia un comportamento del genere
(click per ingrandire)quindi, data una successione convergente a [tex]b[/tex], essa è definitivamente maggiorata dal valore che la funzione assume in [tex]b[/tex] (quel puntone nero), da cui la disuguaglianza passando al limite superiore.
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