Analisi numerica.
Salve, ho un paio di domande stupide.
Sapete dirmi perché quando devo sommare vari addendi, l'algoritmo più stabile è quello per cui l'ordine di sommatoria è $|a_1|<=|a_2|<=\ldots<=|a_n|$?
E inoltre perché non è stabile l'algoritmo per il calcolo di $e$ che consiste in $(1+\frac{1}{n})^n$ con $n=10^k$ per $k\to\infty$?
Grazie mille.
Sapete dirmi perché quando devo sommare vari addendi, l'algoritmo più stabile è quello per cui l'ordine di sommatoria è $|a_1|<=|a_2|<=\ldots<=|a_n|$?
E inoltre perché non è stabile l'algoritmo per il calcolo di $e$ che consiste in $(1+\frac{1}{n})^n$ con $n=10^k$ per $k\to\infty$?
Grazie mille.
Risposte
Per la seconda proposizione direi che il numero $e$ è ottenuto dallo sviluppo di:
$e = 1/(0!) + 1/(1!) + 1/(2!) + 1/(3!) + 1/(4!) + cdots + 1/(n!)$,
se ad n sostituisci il valore $10^k$ i termini diventano:
$e = 1/((10)^0!) + 1/((10)^1!) + 1/((10)^2!) + 1/((10)^3!) + 1/((10)^4!) + cdots + 1/((10)^n!)$
e il numero $e$ si perde nella notte dei tempi.
Per la sommatoria di addendi c'è da tenere conto la successione di Dirichelet:
$S_d = 1, -1, 1, -1, 1, -1, cdots$ che diventa 1, 0, -1 a seconda che si prendono, alternativamente, a gruppi di uno, due, o più, i termini della successione. Per tale motivo, se il valore assoluto dei termini successivi è crescente, prenderli a gruppi di uno, due o più, rende il risultato più stabile.
Spero sia giusto.
$e = 1/(0!) + 1/(1!) + 1/(2!) + 1/(3!) + 1/(4!) + cdots + 1/(n!)$,
se ad n sostituisci il valore $10^k$ i termini diventano:
$e = 1/((10)^0!) + 1/((10)^1!) + 1/((10)^2!) + 1/((10)^3!) + 1/((10)^4!) + cdots + 1/((10)^n!)$
e il numero $e$ si perde nella notte dei tempi.
Per la sommatoria di addendi c'è da tenere conto la successione di Dirichelet:
$S_d = 1, -1, 1, -1, 1, -1, cdots$ che diventa 1, 0, -1 a seconda che si prendono, alternativamente, a gruppi di uno, due, o più, i termini della successione. Per tale motivo, se il valore assoluto dei termini successivi è crescente, prenderli a gruppi di uno, due o più, rende il risultato più stabile.
Spero sia giusto.
"IvanTerr":
Per la seconda proposizione direi che il numero $e$ è ottenuto dallo sviluppo di:
$e = 1/(0!) + 1/(1!) + 1/(2!) + 1/(3!) + 1/(4!) + cdots + 1/(n!)$,
se ad n sostituisci il valore $10^k$ i termini diventano:
$e = 1/((10)^0!) + 1/((10)^1!) + 1/((10)^2!) + 1/((10)^3!) + 1/((10)^4!) + cdots + 1/((10)^n!)$
e il numero $e$ si perde nella notte dei tempi.
No, se vuoi esprimere $e$ come sommatoria infinita ti sei dimenticato tutti i termini in mezzo.
$e = 1/((10)^0!) +[1/((10^0+1)!) + cdots + 1/((10^1-1)!)]+1/((10)^1!) +cdots+ 1/((10)^2!) +cdots+ 1/((10)^3!) +cdots+ 1/((10)^4!) + cdots + 1/((10)^n!)$
Infatti la simulazione in Matlab non mostra una bassa velocità di covergenza. Per k=0,...,8 si avvicina sempre di più ad $e$, da 8 a 16 si allontana, poi ovviamente per errori di arrotondamento la successione darà sempre 1.
E comunque non è quello l'algoritmo che ho usato per calcolare $e$, nell'analisi degli errori questo comporta di sicuro delle differenze.
Per la sommatoria di addendi c'è da tenere conto la successione di Dirichelet:
$S_d = 1, -1, 1, -1, 1, -1, cdots$ che diventa 1, 0, -1 a seconda che si prendono, alternativamente, a gruppi di uno, due, o più, i termini della successione. Per tale motivo, se il valore assoluto dei termini successivi è crescente, prenderli a gruppi di uno, due o più, rende il risultato più stabile.
Spero sia giusto.
Non mi è chiara la motivazione.
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