Analisi non standard
Ciao ragazzi!
La scorsa lezione di analisi matematica 1 il prof c ha detto di cercare facoltativamente un controesempio che si ricavava dall'analisi non standard.Ho letto qualcosina e devo dire che mi ha molto affascinato.Voi che ne pensate?avete qualche testo da suggerirmi per approfondire?grazie
P.S. il controesempio non l'ho trovato ma lo chiedo domani al prof
!
La scorsa lezione di analisi matematica 1 il prof c ha detto di cercare facoltativamente un controesempio che si ricavava dall'analisi non standard.Ho letto qualcosina e devo dire che mi ha molto affascinato.Voi che ne pensate?avete qualche testo da suggerirmi per approfondire?grazie
P.S. il controesempio non l'ho trovato ma lo chiedo domani al prof
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Risposte
“Voi che ne pensate?"
Non perdere tempo, dopo un primo impatto positivo, per poter avanzare devi di fatto ritornare all’analisi standard.
Ad es. prova a calcolare la derivata del seno con l’analisi non standard.
Non perdere tempo, dopo un primo impatto positivo, per poter avanzare devi di fatto ritornare all’analisi standard.
Ad es. prova a calcolare la derivata del seno con l’analisi non standard.
Per incominciare a studiare l'analisi non standard ti consiglio di partire da questi:
http://www.math.wisc.edu/~keisler/
http://www.math.wisc.edu/~keisler/
Scusate la mia intromissione. Il vostro discorso mi ha incuriosito. Cosa è esattamente l'analisi matematica non standard? E' un concetto che non ho mai sentito nominare.
@ Albertus16: Per un'infarinatura introduttiva, potresti leggere qui.
@ neopeppe89: Dal punto di vista dell'analista, la teoria standard va più che bene; nell'Analisi facciamo a meno degli infinitesimi da 150 anni e lavoriamo benissimo.
Per quanto riguarda il rapporto tra Analisi e Analisi non-standard, trovo significative le diapositive 68-69 reperibili al seguente url.
La teoria non-standard è carina, devo dire; ma sono troppo affezionato alle mie dimostrazioni $epsilon-delta$.
@ neopeppe89: Dal punto di vista dell'analista, la teoria standard va più che bene; nell'Analisi facciamo a meno degli infinitesimi da 150 anni e lavoriamo benissimo.
Per quanto riguarda il rapporto tra Analisi e Analisi non-standard, trovo significative le diapositive 68-69 reperibili al seguente url.
La teoria non-standard è carina, devo dire; ma sono troppo affezionato alle mie dimostrazioni $epsilon-delta$.
"Gugo82":
Per quanto riguarda il rapporto tra Analisi e Analisi non-standard, trovo significative le diapositive 68-69 reperibili al seguente url.
Non riesco nemmeno ad immaginare che cosa possa essere la dimostrazione di un risultato del genere. Come cavolo fai a dimostrare che "ogni formula derivabile dall'analisi non standard è derivabile dall'analisi standard"?
"dissonance":
[quote="Gugo82"]
Per quanto riguarda il rapporto tra Analisi e Analisi non-standard, trovo significative le diapositive 68-69 reperibili al seguente url.
Non riesco nemmeno ad immaginare che cosa possa essere la dimostrazione di un risultato del genere. Come cavolo fai a dimostrare che "ogni formula derivabile dall'analisi non standard è derivabile dall'analisi standard"?[/quote]
Purtroppo non sono esperto né di Logica, né di Teoria dei Modelli, quindi non so nemmeno immaginare quali idee entrino in ballo...
"dissonance":
Non riesco nemmeno ad immaginare che cosa possa essere la dimostrazione di un risultato del genere. Come cavolo fai a dimostrare che "ogni formula derivabile dall'analisi non standard è derivabile dall'analisi standard"?
Roba abbastanza facile per un logico... La logica e' piena di risultati del tipo: se dimostri una certa cosa in questo sistema piu' ampio, lo puoi dimostrare anche nel sistema ristretto. Chiaramente senza la logica matematica te li sogneresti questi risultati.
La parte piu' difficile in assoluto e' invece costruire gli iperreali, ma con gli strumenti base della logica diventa un esercizio; mi ricordo di averlo svolto al mio secondo anno.
Purtroppo non sono esperto né di Logica, né di Teoria dei Modelli, quindi non so nemmeno immaginare quali idee entrino in ballo...
Questo e' forse il motivo piu' serio per cui gli analisti non recepiscono in massa l'analisi non standard.
IMHO, il motivo più serio è la storia della disciplina.
Insomma si dovrebbero tradurre in termini non standard 180 anni di risultati di Analisi (partendo dal Course d'Analyse di Cauchy), il che mi pare faticoso assai.
La domanda è: il gioco vale la candela?
Nel senso: i metodi non-standard semplificano talmente le dimostrazioni da rendere conveniente un'opera immensa di riscrittura?
Insomma si dovrebbero tradurre in termini non standard 180 anni di risultati di Analisi (partendo dal Course d'Analyse di Cauchy), il che mi pare faticoso assai.
La domanda è: il gioco vale la candela?
Nel senso: i metodi non-standard semplificano talmente le dimostrazioni da rendere conveniente un'opera immensa di riscrittura?
La "REALTA'" è pura illusione. L'iperreale contraddice il rasoio di Ockham.
"PaoloXLIX":
La "REALTA'" è pura illusione. L'iperreale contraddice il rasoio di Ockham.
Nessuno dei concetti filosofici o matemetici è indiscutibile. L'analisi non standard è un bel lavoro di per sè e forse esiste un gioco per il quale la candela vale, forse non è stato ancora trovato!
"Gugo82":
IMHO, il motivo più serio è la storia della disciplina.
Insomma si dovrebbero tradurre in termini non standard 180 anni di risultati di Analisi (partendo dal Course d'Analyse di Cauchy), il che mi pare faticoso assai.
Be', nessuno costringe nessuno a riscrivere i vecchi risultati. Se a volte pensare in termini di analisi non standard permette di ragionare in modo piu' efficiente, dimostrare nuovi risultati o dimostrarne di vecchi in modo piu' semplice, ben venga l'analisi non standard.
L'analisi non standard e' semplicemente una nuova tecnica. Il punto e' che pochissimi matematici hanno le conoscenze per padroneggiare gli strumenti logici alla base.
"Gugo82":
IMHO, il motivo più serio è la storia della disciplina.
Insomma si dovrebbero tradurre in termini non standard 180 anni di risultati di Analisi (partendo dal Course d'Analyse di Cauchy), il che mi pare faticoso assai.
La domanda è: il gioco vale la candela?
Nel senso: i metodi non-standard semplificano talmente le dimostrazioni da rendere conveniente un'opera immensa di riscrittura?
Non devi tradurre ogni libro ma solo la teoria attuale e secondo me è un lavoro lungo ma non impossibile... Anche perché da quello che so i metodi standard sono utilizzabili anche nell'analisi non standard... è il contrario che non si può fare...
In ogni caso concordo con fields...
P.S: Un analista durante una conferenza ha riso sul fatto che usava alcuni concetti di topologia ma che non sarebbe stato in grado di spiegare... E' così necessario capire a fondo gli strumenti logici o basta impararli ad usare? Nel senso che non serve che un analista conosca a fondo la teoria dei campi per calcolare una derivata...
X Paolo: Personalmente non trovo che l'analisi non standard contraddica il rasoio di Ockham... D'altra parte non trovo neanche che lo faccia quella standard...
Secondo me il problema è che vediamo l'analisi non standard dopo quella standard... Se facessimo il contrario probabilmente non capiremmo perché le cose vengono complicate tanto (almeno nelle definizioni)...
"vict85":
E' così necessario capire a fondo gli strumenti logici o basta impararli ad usare? Nel senso che non serve che un analista conosca a fondo la teoria dei campi per calcolare una derivata...
Per certe applicazioni puo' darsi che basti usare la teoria, senza necessariamente capirla a fondo. Personalmente non mi accontenterei mai di applicare qualcosa senza capire che diavolo sta succedendo e non avendo nessuna intuizione sul perche' i numeri iperreali sono costruiti in un certo modo.
Comunque sull'analisi non standard raccomando fortemente il libro:
Goldblatt, "Lectures on the hyperreals"
e' fatto davvero bene. Comunque bisogna mettersela via: non si puo' capire perche' funziona il principio di trasferimento (pag 67 dei lucidi di Gugo) se non si conosce la parte di logica necessaria...
"Gugo82":
@ Albertus16: Per un'infarinatura introduttiva, potresti leggere qui.
@ neopeppe89: Dal punto di vista dell'analista, la teoria standard va più che bene; nell'Analisi facciamo a meno degli infinitesimi da 150 anni e lavoriamo benissimo.
Per quanto riguarda il rapporto tra Analisi e Analisi non-standard, trovo significative le diapositive 68-69 reperibili al seguente url.
La teoria non-standard è carina, devo dire; ma sono troppo affezionato alle mie dimostrazioni $epsilon-delta$.
Grazie per i link, Gugo82.
"GIBI":
Ad es. prova a calcolare la derivata del seno con l’analisi non standard.
Il simbolo $~~$ significa "infinatamente vicino":
$dsin(x)=sin(x+dx)-sin(x)=sin(x)cos(dx)+cos(x)sin(dx)-sin(x)~~sin(x)+cos(x)dx-sin(x)=cos(x)dx$, quindi
$(dsin(x))/(dx) = cos(x)$
p.s. La terza equivalenza sfrutta il fatto che $cos(dx)~~1$ e che $sin(dx)~~dx$
Sono dell'idea che un vero Matematico non possa chiudersi su se stesso nella maniera che diceva Gugo82.
Non è il primo analista che ho sentito ripudiare a priori l'NSA con la scusa che "con il sistema epsilon-delta ce la si fa benissimo".
Con lo stesso ragionamento anche i fisici disprezzano l'eccessivo formalismo matematico.
Le cose non stanno così. Tutto ciò che si può dimostrare nel mondo nonstandard vale anche nel mondo standard, ma non viceversa. Sono moltissimi i risultati dell' NSA che non sono traducibili in termini classici. Basta guardarsi le pubblicazioni di Nigel Cutland, tanto per citarne uno. Si pensi a tutto ciò che si può fare con la Misura di Loeb.
Poi è proprio brutto sapere che ci sono Matematici che ignorano completamente la Logica. La Logica, secondo me, è l'essenza della Matematica, ciò che lo distingue da fisici e ingegneri prima di ogni altra cosa. Non si può prescindere da essa.
Sarà che non riesco a concepire la mancanza di curiosità nei confronti di una branca così originale.
Non è il primo analista che ho sentito ripudiare a priori l'NSA con la scusa che "con il sistema epsilon-delta ce la si fa benissimo".
Con lo stesso ragionamento anche i fisici disprezzano l'eccessivo formalismo matematico.
Le cose non stanno così. Tutto ciò che si può dimostrare nel mondo nonstandard vale anche nel mondo standard, ma non viceversa. Sono moltissimi i risultati dell' NSA che non sono traducibili in termini classici. Basta guardarsi le pubblicazioni di Nigel Cutland, tanto per citarne uno. Si pensi a tutto ciò che si può fare con la Misura di Loeb.
Poi è proprio brutto sapere che ci sono Matematici che ignorano completamente la Logica. La Logica, secondo me, è l'essenza della Matematica, ciò che lo distingue da fisici e ingegneri prima di ogni altra cosa. Non si può prescindere da essa.
Sarà che non riesco a concepire la mancanza di curiosità nei confronti di una branca così originale.
È un peccato??
Ciao Riccardo,
semplicemente è una discussione vecchia di oltre 4 anni. Se ti va di parlare di logica in senso lato potremmo aprire un filone in generale. Interessa anche a me, ma qui la discussione non è decollata.
semplicemente è una discussione vecchia di oltre 4 anni. Se ti va di parlare di logica in senso lato potremmo aprire un filone in generale. Interessa anche a me, ma qui la discussione non è decollata.
[ot]
Ahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahah
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"Raptorista":
Ahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahahah
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