Analisi matematika

[sch4tz]

vi prego aiutatemi!martedi ho l'orale di analisi a e mi kiederanno ji esercizi svolti nel kompito,ho fatto alkuni errori e volevo ke voi mi deste na mano a risolverli!Grazie!

Allora:
1)Risolvere la seguente disekuazione:
arctan(x elevato al kuadrato,+ 5/2x)<-uguale a pigreko/4.

2)si indiki il valore del seguente limite
lim (1+sinx)[elevato alla 3]-1 tutto fratto tanx
x->0
le risposte sn:-3;-1;1;3;

3)kalkolare il seguente limite
lim (1-2x/x al kuadrato + 1)tutta la parentesi elevata ad x.
x->+infinito

4)indikare un intervallo in kui tale funzione:
f(x)=sin(log x)
sia strettamente dekrescente.
le risposte sn:
]0,2 pigreko];[e elevato a pigreko/2,e elevtao a 3/2 pigreko],[e elevato a -2 pigreko,e elevato a 2 pigreko].

Skrivere l'ekuazione della retta tangente al grafiko della funzione data nel punto di ascissa:e elevato a -pigreko/3

5)si provi ke
x appartiene ]1,pigreko + radice di pigreko elevato al kuadrato -4 tutto fratto 2[
allora
sin x
AIUTATEMI!!GRAZIE!!


Anna Canneva

[goblyn]

1)

sarà questo il testo...

arctan(x^2+(5/2)x)<=pi/4 ???

Se sì:

x^2 + (5/2)x <= 1

(ho applicato la tangente ad ambo i membri. Essendo la arctan funzione monotona crescente non devo cambiare verso alla disequazione)

2x^2 + 5x - 2 <= 0

Le radici sono:

[-5 +- sqrt(41)]/4

Quindi:

[-5 - sqrt(41)]/4 < x < [-5 + sqrt(41)]/4

[goblyn]

2)

lim [(1+sin(x))^3 - 1] / tan(x)
x->0

se x->0 allora sin(x) vale circa x:

lim [(1+x)^3 - 1] / tan(x)
x->0

se x->0 (1+x)^3 vale circa (per Taylor) 1+3x:

lim 3x / tan(x)
x->0

La tan(x) per x->0 si confonde con x:

lim 3x / x = 3
x->0

[goblyn]

Ma insomma Anna le parentesi...

lim (1-2x/(x^2+1)) ^ x
x->+infinito

Se x->+inf x^2+1 vale circa x^2:

lim (1-2/x) ^ x
x->+infinito

Sostituiamo -2/x=1/t ==> t=-x/2 ==> x=-2t:

lim (1+1/t) ^ (-2t) =
x->-infinito

= [lim (1+1/t) ^ t] ^ (-2) = e^(-2)
x->-infinito

[goblyn]

4)

f(x)=sin(log(x))

Dominio: x>0.

f'(x)=cos(log(x)) / x

Gli intervalli del testo sono tutti a valori positivi. Quindi il denominatore della derivata è positivo. Bisogna che il numeratore sia negativo, cioè:

cos(log(x))<0

pi/2 + 2*k*pi < log(x) < 3/2 * pi + 2*k*pi

prendiamo k=0 ed eliminiamo il logaritmo:

e^(pi/2) < x < e^(3/2*pi)

Quindi l'intervallo giusto è il secondo (però con gli estremi esclusi...).

f(e^(-pi/3))=sin(-pi/3)=-sqrt(3)/2
f'(e^(-pi/3))=cos(-pi/3) * e^(pi/3) = (1/2) * e^(pi/3)

Ricordando la formula y-y0=y'(x0)*(x-x0)

y + sqrt(3)/2 = (1/2) * e^(pi/3) * (x-e^(-pi/3))

[goblyn]

5)

(1 , pi + sqrt( pi^2 - 4 )/2 )

sarà questo l'intervallo...? mah... anna anna...