Analisi matematica limiti

[Martina19891]

Qualcuno può aiutarmi a risolvere questo limite...

lim (rad ennesima(rad ennesima(n-3)!)) n->infinito

[Noisemaker]

e magari scrivere con le formule che trovi qui
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
il llimite è questo?

\[\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n]{(n-3)!}}\]

[Martina19891]

ok grazie.....
la mia idea era quella di riportarmi ad una forma (((n-3)!)^1/n)^1/n però da qui non riesco ad andare avanti..... qualcuno riesce ad aiutarmi??

[Noisemaker]

l'idea è buona
\[\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n]{(n-3)!}}=\lim_{n\to+\infty} \left[\left(n-3)!\right)^{\frac{1}{n}}\right]^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to+\infty} \left[(n-3)!\right]^{\frac{1}{n^2}} \]
a questo punto prova a passare in forma esponenziale:
\begin{align} \exp\left[ \frac{\ln (n-3)! }{n^2}\right] \end{align}

EDIT: scusa TEM scrivevo in contemp.

[Martina19891]

Potresti spiegarmi come passare alla forma esponenziale.....

[Bombadil]

in questo caso sarebbe comodo sapere la formula di stirling che per per n che tende a infinito ti da la stima

$ n! ~ sqrt(2pin)(n/e)^n $

[Bombadil]

"TeM":[quote="Bombadil"]in questo caso sarebbe comodo sapere la formula di stirling che per per n che tende a infinito ti da la stima
$ n! ~ sqrt(2pin)(n/e)^n $

L'approssimazione di Stirling è applicabile, certo, ma in questo caso non occorre conoscerla [/quote]

sì è vero..

[Noisemaker]

be dalla definizione di logaritmo ... hai che
\[a=e^{\ln a}\]

per cui ad esempio se hai $x^x$ puoi sempre scriver l'uguaglianza
\[x^x=e^{\ln x^x}=e^{x\ln x}\]


la formual di Stirling non è necessarria, basta conoscere una stima che si dimostra per induzione $n!

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[Martina19891]

mi riporterei (n-3)! nella forma (n-3)(n!) quindi con la scala degli infinitesimi avrei n!/\$n^2\$.
Essendo n!>\$n^2\$ posso dedurre che il mio limite tende ad infinito...Giusto?????

[Noisemaker]

"Martina1989":mi riporterei $(n-3)! = (n-3)(n!)$

questo non va bene ...per definizione hai che
\[(n-3)!=(n-4)!(n-3)\]

[Martina19891]

ah ok.....ma a questo punto tenderà comunque ad infinito...poichè il fattoriale va più velocemente dell'esponenziale....
Giusto?

[Martina19891]

Chiarissimo grazie mille... :D:D

[Noisemaker]

LA dimostrazione di Tem è estremamente chiara! Alternativamente, come puoi dimostrare per induzione (fallo che va sempre bene come esercizio) sai che $n!\len^n, \forall n\ge1$ e sai che la funzione $ln x$ è sempre crescente, dunque prendendo i logaritmi ad ambo i membri della disuguaglianza il verso si conserva, e hai che
\[\ln (n!)\le \ln n^n \]
allora il tuo limite lo puoi confrontare considerando solo il limite dell'esponente hai che :

\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \frac{ \ln(n-3)!}{n^2}&=\lim_{t\to+\infty}\frac{ \ln(t)!}{(t+3)^2}\sim\lim_{t\to+\infty}\frac{ \ln(t)!}{t^2}\\
&\le\lim_{t\to+\infty}\frac{ \ln t^t}{t^2}=\lim_{t\to+\infty}\frac{t \ln t }{t^2}=\lim_{t\to+\infty}\frac{ \ln t }{t }=0 \to e^0=1
\end{align}


Oppure, ricordando che $\ln (n!)= n\ln n-n+o(1/n)$ hai che
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \frac{ \ln(n-3)!}{n^2}&=\lim_{t\to+\infty}\frac{ \ln(t)!}{(t+3)^2}= \lim_{t\to+\infty}\frac{ n\ln n-n+o(1/n)}{t^2}\\
&= \lim_{t\to+\infty}\frac{ \ln n-1+o(1/n)}{t }=0\to e^0=1
\end{align}

[Martina19891]

posso chiederti invece come risolveresti questo limiti....(\$(x^2+n^5)/(x^3+n^5)\$)^\$e^2\$
io avrei pensato di riportarmi al limite di nepero quindi ad una forma (\$(1+(x^2+n^5)/(x^3+n^5)\$))^\$e^2\$
però poi da li non so come andare avanti....

[Noisemaker]

il limite non è molto chiaro ....ci sono $x$ $n$ ...a cosa tende il limte?