[Analisi matematica II] Serie di potenze
Ciao a tutti, chiedo il vostro aiuto per un esercizio di analisi matematica II, in particolare per le serie di potenze. Mi è sorto un dubbio quando la "x" elevata alla n , non è una semplice x ma una funzione. Ad esempio ho la seguente serie di potenze:
$ \sum_{n = \ 0} \(-1)^n / sqrt(2n+1) * (x^2 - x -1)^n $
La mia domanda è, posso trovare il raggio di convergenza sostituendo $ z= (x^2 - x -1)^n $ dopodichè, come definisco l'insieme di convergenza con la x? Trascrivo il procedimento, fino al punto in cui mi blocco, per essere più chiara.
Definisco il raggio di convergenza con il criterio del rapporto:
$ \lim 1/(sqrt (2(n+1)+ 1) ) * sqrt(2n+1) $
Trovo che r=1 , quindi avrò
$ |z|< 1 $
Sostituisco
$ | x^2 - x - 1| <1 $
A questo punto? Studio la funzione con la variazione dei segni, e quale insieme di convergenza dovrò considerare? Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
$ \sum_{n = \ 0} \(-1)^n / sqrt(2n+1) * (x^2 - x -1)^n $
La mia domanda è, posso trovare il raggio di convergenza sostituendo $ z= (x^2 - x -1)^n $ dopodichè, come definisco l'insieme di convergenza con la x? Trascrivo il procedimento, fino al punto in cui mi blocco, per essere più chiara.
Definisco il raggio di convergenza con il criterio del rapporto:
$ \lim 1/(sqrt (2(n+1)+ 1) ) * sqrt(2n+1) $
Trovo che r=1 , quindi avrò
$ |z|< 1 $
Sostituisco
$ | x^2 - x - 1| <1 $
A questo punto? Studio la funzione con la variazione dei segni, e quale insieme di convergenza dovrò considerare? Grazie mille in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Sarebbe meglio scrivessi nella sezione di analisi
Sposto in Analisi
grazie
Quella non è una serie di potenze, qual è la richiesta dell'esercizio?
Determinare l'insieme di convergenza e studiare la convergenza totale delle seguenti serie di funzioni. Ma è una traccia relativa, sono degli esercizi assegnati dal docente.
Eh giustamente, non parla né di serie di potenze né di raggio di convergenza, quella è una generica serie di funzioni, non ha niente a che fare con le serie di potenze, che sono espressioni del tipo $(x-x_0)^n$
Si hai ragione, ora però sono ancora più confusa sullo svolgimento. Come la dovrei studiare?
Per la convergenza delle serie di funzioni esistono opportuni metodi e teoremi, che ora non mi ricordo, comunque in questo caso la serie di funzioni è riconducibile a una serie di potenze con la sostituzione che hai fatto tu, l'insieme di convergenza è dato da quella disuguaglianza che hai trovato.
Si ma avendo il valore assoluto mi troverò con due soluzioni che non hanno intervalli in comune
E perché dovrebbero avere un intervallo in comune? Stai cercando un insieme di convergenza, l'insieme puó essere di qualsiasi tipo
Insomma il fatto è che NON è una serie di potenze ma PUÓ essere ricondotta a una serie di potenza per trovare l'insieme di convergenza, questo insieme NON è necessariamento un intervallo
"mikimix":
Definisco il raggio di convergenza con il criterio del rapporto:
$ \lim 1/(sqrt (2(n+1)+ 1) ) * sqrt(2n+1) $.
N O !
Non "definisci". Tu calcoli il raggio di convergenza.
Fai attenzione ad esprimerti bene, è molto più importante di quanto sembra.
Va bene grazie, quindi anche se dovessi trovarmi una cosa tipo x<1 u x>2 ( ad esempio) , questo sarà il mio insieme di convergenza?
Si esatto
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