Analisi Matematica I/2

[fireball1]

Propongo un bell'esercizio per chi sta preparando
Analisi ed è arrivato a fare questi argomenti (in alcune
università si fanno inclusi in Analisi I, in altre in Analisi II...).

Determinare per quali valori di $alpha in RR$ risulta differenziabile in $RR^2$ la seguente funzione:

$g_alpha (x,y) = int_0^(sqrt(x^2+y^2)) (sin t)/|t|^alpha dt

[Piera4]

Intanto per l'esistenza della funzione occorre che $alpha<2$.
Calcoliamo la derivata parziale rispetto ad x nell'origine:
$lim_(Deltax->0)(int_0^(|Deltax|)(sen t)/|t|^alphadt)/(Deltax)=0$ se $alpha<1$.
Pertanto $f_x(0,0)=0$ e analogamente $f_y(0,0)=0$ se $alpha<1$.
Inoltre
$lim_((Deltax,Deltay)->(0,0))(g_alpha(Deltax,Deltay))/sqrt(Deltax^2+Deltay^2)=lim_(rho->0)(int_0^rho (sen t)/|t|^alphadt)/rho=0$ se $alpha<1$, da cui segue la differenziabilità della funzione nell'origine.
Quando $alpha=1$ la funzione non ammette derivata parziale rispetto ad x su (0,0) e quindi non è differenziabile.
Infatti
$lim_(Deltax->0^+)(int_0^(Deltax)(sen t)/|t|dt)/(Deltax)=1$
$lim_(Deltax->0^-)(int_0^(-Deltax)(sen t)/|t|dt)/(Deltax)=-1$.
Un discorso analogo vale per $1 In conclusione la funzione è differenziabile su tutto il piano quando $alpha<1$.
Salvo errori.

[fireball1]

Proprio così, Alessandro! Anche io ho seguito il tuo stesso procedimento.