Analisi matematica e moto armonico

[SimonePietroCarrozza]

Buonasera a tutti!
Nel mio libro di matematica vi è il seguente problema di fisica nella quale bisogna usare le conoscenze di analisi:

Un punto materiale si muove di moto armonico secondo la legge $ s = 4 cos(\omega t - pi/6) $, essendo $\omega = (2 pi)/ T$ e sapendo che il periodo è $T = 6 s $. In quali istanti è massimo il modulo dell'accelerazione?

Io ho provato a svolgerlo, ma il risultato non combacia con quello del libro che è $t = (1/2 + 3*k), text{con k numero intero}$ .
L'accelerazione, se non sbaglio, è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo, quindi la derivata prima della velocità rispetto al tempo:

$ v(t) = -4 \omega sin(\omega t - pi/6) $
$ a(t) = -4 \omega ^2 cos(\omega t - pi/6) $

Essendo che $\omega = (2 pi)/ T$ e $T = 6 s $ allora $ a(t) = -(4 pi^2) / 9 cos(pi/3 t - pi/6) $.

Ora per calcolare quando l'accelerazione è massima, basta studiare la derivata di $ a(t) $ .
$ a'(t) = (4 pi^3) / 27 sin(pi/3 t - pi/6) $
che sarà maggiore di zero quando $0

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Risposte

Ziben

14 mar 2017, 23:42

Ciao,
non capisco come ti salta fuori la "periodicità" $pi/3k$ nel tuo risultato. Non è necessario ricorrere alla derivata per calcolare gli istanti in cui il modulo dell'accelerazione è massimo (tra l'altro dovresti prendere anche i punti di minimo). Giunto all'espressione dell'accelerazione basta notare che:

$|a(t)|=|-4\omega^2 cos(\omega t - pi/6)| = 4\omega^2 |cos(\omega t - pi/6)|$

Quindi l'accelerazione sarà massima quando $|cos(\omega t - pi/6)|$ assumerà valore massimo cioè $1$. E questo succede quando:

$\omega t - pi/6 = kpi$ da cui $\omega t = pi/6 +kpi$ che porta a $t=pi/(6\omega) + (kpi)/\omega$

tenendo conto che $\omega = (2pi)/T$ e che $T=6sec$ si ha:

$t=pi/6T/(2pi) + kpiT/(2pi)$ e quindi $t= 1/2 + 3k$ con $k in Z$

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SimonePietroCarrozza

15 mar 2017, 15:00

Grazie mille per la risposta! L'errore che facevo era proprio considerare come periodo $\omega$ ... non so perché, sarà stata la stanchezza... comunque grazie a te ho capito dove sbagliavo!
Usando la derivata per calcolare il risultato bastava risolvere le disequazioni $k pi <= pi/3 t - pi/6 <= pi + k pi$ e risulta che c'è un massimo per $t=7/2 + 3 k \to t= 1/2 + 6 + 3k \to t= 1/2 + 3(k+2) \to t= 1/2 + 3k$ inglobando il 2 dentro k visto che k assumeva già tutti i numeri interi.

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[Ziben]

Ciao,
non capisco come ti salta fuori la "periodicità" $pi/3k$ nel tuo risultato. Non è necessario ricorrere alla derivata per calcolare gli istanti in cui il modulo dell'accelerazione è massimo (tra l'altro dovresti prendere anche i punti di minimo). Giunto all'espressione dell'accelerazione basta notare che:

$|a(t)|=|-4\omega^2 cos(\omega t - pi/6)| = 4\omega^2 |cos(\omega t - pi/6)|$

Quindi l'accelerazione sarà massima quando $|cos(\omega t - pi/6)|$ assumerà valore massimo cioè $1$. E questo succede quando:

$\omega t - pi/6 = kpi$ da cui $\omega t = pi/6 +kpi$ che porta a $t=pi/(6\omega) + (kpi)/\omega$

tenendo conto che $\omega = (2pi)/T$ e che $T=6sec$ si ha:

$t=pi/6T/(2pi) + kpiT/(2pi)$ e quindi $t= 1/2 + 3k$ con $k in Z$

[SimonePietroCarrozza]

Grazie mille per la risposta! L'errore che facevo era proprio considerare come periodo $\omega$ ... non so perché, sarà stata la stanchezza... comunque grazie a te ho capito dove sbagliavo!
Usando la derivata per calcolare il risultato bastava risolvere le disequazioni $k pi <= pi/3 t - pi/6 <= pi + k pi$ e risulta che c'è un massimo per $t=7/2 + 3 k \to t= 1/2 + 6 + 3k \to t= 1/2 + 3(k+2) \to t= 1/2 + 3k$ inglobando il 2 dentro k visto che k assumeva già tutti i numeri interi.