Analisi matematica 2 esame

caim03
Salve a tutti, l'altra settimana ho fatto l'esame di analisi 2...mi sono esercitato tantissimo e tutti gli altri appelli mi venivano quasi perfettamente...questa volta il prof ha messo esercizi un pò piu strani e non sono riuscito a passare l'esame.
Ora metto il testo in allegato e se qualcuno mi puo spiegare alcuni di questi esercizi ne sarei grato :)
http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/aa1 ... 7-2013.pdf
Grazie in anticipo :D

Risposte
gugo82
Ti consiglio di leggere questo avviso e regolarti di conseguenza. :wink:

caim03
ho letto il regolamento...so che dovrei proporre anche una mia soluzione...il problema è che non ho una soluzione, non so dove mettere le mani mi sembrani troppo strani rispetto a tutti gli altri che ho sempre fatto (togliendo l'equazione differenziale che come se non bastasse ha buttato in mezzo anche il delta di dirac)

gugo82
Ho visto le altre prove e sono tutte simili (integrali multipli, integrali complessi, EDO con Laplace o calcolo esplicito di convoluzioni).
Quindi non credo possibile che tu non sappia metter mano in nessun esercizio (almeno gli esercizi sull'integrazione, no?).

Per quel che mi riguarda, attendo che tu posti qualcosa.

caim03
Degli altri scritti ce ne sono alcuni che riesco a finire in poco piu di un'ora...dove alla fine c'è un integrale curvilineo risolvibile con Gauss-Green oppure con il potenziale...oppure un'integrale da trasformare in variabili complesse da svolgere con i residui oppure l'equazione differenziale che di solito chiede la soluzione e l'esistenza di un t tale che x(t) = 0.
Comunque ore provo a scrivere come ho cercato di svolgeri.
Ad esempio il numero 3).

Calcolare i seguenti due integrali curvilinei:
1 = \(\displaystyle \int \frac{zRe(z)}{z-1}dz \) e 2 = \(\displaystyle \int \frac{zIm(z)}{z-1}dz \)
dove \(\displaystyle \gamma \) è la circonferenza centrata in 0 e raggio 2 percorsa una volta in modo antiorario.
Io ho provato cosi:
entrambe le funzioni da integrare hanno una singolarità in z=1 ma non sono funzioni olomorfe quindi non posso applicare il teorema dei residui.
Allora ho cercato di utilizzare la definizione, cioè \(\displaystyle \int f(z) dz = \int udx - vdy + i\int vdx +udy \)
Quindi facendo riferimento al primo integrale, dato che \(\displaystyle z = x + iy \) allora \(\displaystyle \int \frac{zRe(z)}{z-1}dz = \int \frac{x^2 + ixy}{x + iy - 1}\).
Dividendo le variabili secondo la definizione ottengo: \(\displaystyle \int \frac{x^2}{z-1}dx - \frac{xy}{z-1}dy \) + \(\displaystyle i\int \frac{xy}{z-1}dx + \frac{x^2}{z-1}dy \).
Ma da qui non so piu come andare avanti perchè se trasformo la z al denominatore mi ritroverei con dei complessi sotto...altrimenti con integrali a variabili reali con una variabile complessa. Poi non mi ritrovo perchè di solito con gli integrali curvilinei agisco o con gauss-green o con il potenziale.
Comunque per il secondo è lo stesso procedimento, intanto vorrei una spiegazione per questo esercizio :) grazie in anticipo

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