Analisi matematica 1
Buongiorno a tutti!Come sempre spero che anche stavolta potete aiutarmi!
Volevo sapere come si fanno a trovare gli estremi relativi e assoluti di una funzione.
Ad esempio:
f(x)=sqrtx * [log x ]^2
Io so che fare la derivata prima e porla magiore di zero, serve a vedere l'andamento del grafico della funzione nei punti interessati, ma non so come dimostrare se questi punti sono di massimo o di minimo, relativi od assoluti!In pratica non mi serve lo svolgimento della funzione ma vorrei sapere i procedimenti che si fanno in generale per trovare estremi relativi e assoluti!
Grazie!
anna.
Volevo sapere come si fanno a trovare gli estremi relativi e assoluti di una funzione.
Ad esempio:
f(x)=sqrtx * [log x ]^2
Io so che fare la derivata prima e porla magiore di zero, serve a vedere l'andamento del grafico della funzione nei punti interessati, ma non so come dimostrare se questi punti sono di massimo o di minimo, relativi od assoluti!In pratica non mi serve lo svolgimento della funzione ma vorrei sapere i procedimenti che si fanno in generale per trovare estremi relativi e assoluti!
Grazie!
anna.
Risposte
Che bello analizzare le funzioni!!!
Beh, allora sai che la derivata prima, per definizione ti da l'andamento della funzione, se è positiva cresce, se è negativa decresce. Semplice da dimostrare dato che la derivata è il rapporto incrementale della tangente.
Dalla derivata ha quindi dei punti estremali che possono essere massimi, minimi o flessi. Guardi come sono i valori della derivata prima e dopo di quei punti, se sono positivi prima e negativi poi la funzione cresce e poi decresce, hai quindi un max relativo. Idem al contrario.
Se hai positivo-positivo derivi ancora. La derivata seconda ti da la concavità-convessità. Dove si annulla hai probabilmente dei flessi, se hai positivo negativo o vicecersa nell'intorno del punto, mentre puoi avere cuspidi o punti angolosi se ha lo stesso segno...
Scusa la confusione, spero tu abbia capito qualcosa, ma son di fretta, devo partire per l'uni...
Beh, allora sai che la derivata prima, per definizione ti da l'andamento della funzione, se è positiva cresce, se è negativa decresce. Semplice da dimostrare dato che la derivata è il rapporto incrementale della tangente.
Dalla derivata ha quindi dei punti estremali che possono essere massimi, minimi o flessi. Guardi come sono i valori della derivata prima e dopo di quei punti, se sono positivi prima e negativi poi la funzione cresce e poi decresce, hai quindi un max relativo. Idem al contrario.
Se hai positivo-positivo derivi ancora. La derivata seconda ti da la concavità-convessità. Dove si annulla hai probabilmente dei flessi, se hai positivo negativo o vicecersa nell'intorno del punto, mentre puoi avere cuspidi o punti angolosi se ha lo stesso segno...
Scusa la confusione, spero tu abbia capito qualcosa, ma son di fretta, devo partire per l'uni...
Grazie x la spiegazione ma io volevo sapere quand'è che è un punto estremale è relativo e quand'è che è assoluto!
Una volta che li hai trovati tutti verifichi, in una parabola hai un vertice, ed è assouto.
Diciamo che (x,y) è punto di massimo relativo se esiste un intorno di x tale che y sia massimo.
Diciamo che (x,y) è punto di massimo assoluto se y > di y1 al variare di y in tutto il codominio.
Diciamo che (x,y) è punto di massimo relativo se esiste un intorno di x tale che y sia massimo.
Diciamo che (x,y) è punto di massimo assoluto se y > di y1 al variare di y in tutto il codominio.
Scusami sarò demente ma non ho capito tanto!Cmq questo eserczio riguarda analisi mat.1 mod A ad informatica e non abbiamo mai parlato di parabola!Giià sto ingrippata di mio,mi fai scoraggiare ancora di +!
Aiutatemiiiiiii!
Aiutatemiiiiiii!
A)I punti di massimo o minimo relativi si trovano (in generale)
esaminando,(come del resto hai detto anche tu) il segno
della derivata prima.I punti in cui tale derivata esiste
e attraverso i quali il segno della medesima
cambia sono i punti richiesti.Precisamente
i punti dove la der.prima passa da "+" a "-" sono di massimo
relativo e quelli in cui la der.prima passa da "-" a "+"
sono di minimo relativo.
B)I punti di massimo e minimo assoluti occorre cercarli tra:
i) punti in cui la derivata prima si annulla (cioe' tra i punti di estremo relativi).
ii) punti in cui la funzione non e' derivabile ma sia in essi definita.
iii) gli estremi dell'intervallo (o degli intervalli) di definizione della funzione.
Una volta trovati tutti questi punti,si calcola il valore che la f(x)
prende in ciascuno di essi :il piu' grande di questi valori fornisce
il massimo assoluto,il piu' piccolo da' invece il minimo assoluto.
N.B.Se qualcuno di essi punti non fosse finito o la f(x) non fosse
in esso definita ,il valore della funzione va calcolato con un limite.
Ad es. la f(x) da te postata e' definita in ]o,+inf[
e la sua derivata si annulla in x=1/(e^4) e in x =1
dove presenta un massimo(relativo) ed un minimo (relativo)
dati da Max=f(1/(e^4))=16/(e^2) e min=f(1)=0
Ora risulta:
limf(x)=+inf
x-->+inf
limf(x)=0
x-->0+
e dunque si conclude che f(x) non ha massimo assoluto ma solo
minimo assoluto che e' f(1)=0 preso quindi nel punto x=1
( o ad anche nel punto x=0 se si prolunga f(x) per continuita') che
ora risulta essere anche punto di minimo assoluto oltre che relativo
Salvo possibili errori da parte mia od eccezioni a quanto ho prima esposto.
karl.
Modificato da - karl il 05/04/2004 15:25:50
Modificato da - karl il 05/04/2004 15:30:56
esaminando,(come del resto hai detto anche tu) il segno
della derivata prima.I punti in cui tale derivata esiste
e attraverso i quali il segno della medesima
cambia sono i punti richiesti.Precisamente
i punti dove la der.prima passa da "+" a "-" sono di massimo
relativo e quelli in cui la der.prima passa da "-" a "+"
sono di minimo relativo.
B)I punti di massimo e minimo assoluti occorre cercarli tra:
i) punti in cui la derivata prima si annulla (cioe' tra i punti di estremo relativi).
ii) punti in cui la funzione non e' derivabile ma sia in essi definita.
iii) gli estremi dell'intervallo (o degli intervalli) di definizione della funzione.
Una volta trovati tutti questi punti,si calcola il valore che la f(x)
prende in ciascuno di essi :il piu' grande di questi valori fornisce
il massimo assoluto,il piu' piccolo da' invece il minimo assoluto.
N.B.Se qualcuno di essi punti non fosse finito o la f(x) non fosse
in esso definita ,il valore della funzione va calcolato con un limite.
Ad es. la f(x) da te postata e' definita in ]o,+inf[
e la sua derivata si annulla in x=1/(e^4) e in x =1
dove presenta un massimo(relativo) ed un minimo (relativo)
dati da Max=f(1/(e^4))=16/(e^2) e min=f(1)=0
Ora risulta:
limf(x)=+inf
x-->+inf
limf(x)=0
x-->0+
e dunque si conclude che f(x) non ha massimo assoluto ma solo
minimo assoluto che e' f(1)=0 preso quindi nel punto x=1
( o ad anche nel punto x=0 se si prolunga f(x) per continuita') che
ora risulta essere anche punto di minimo assoluto oltre che relativo
Salvo possibili errori da parte mia od eccezioni a quanto ho prima esposto.
karl.
Modificato da - karl il 05/04/2004 15:25:50
Modificato da - karl il 05/04/2004 15:30:56
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