[Analisi II]Punti massimo e minimo vincolati, metodo dei Moltiplicatori di Lagrange
Salve a tutti, in questo 3d vi pongo i miei quesiti sulla risoluzione di esercizi che chiedono i punti di massimo e minimo vincolati, in particolare la risoluzione tramite moltiplicatori di Lagrange.
Da quello che ho capito, per trovare tali punti, bisogna procedere in questo modo:
Trovare i punti di massimo e minimo globali di $ F(x)=xy $ vincolati su $ 2x^2+y^2<=1 $
1- considero prima di tutto la parte interna dell'insieme "vincolante" e quindi la disequazione strettamente minore.
2- calcolo quindi le derivate della funzione rispetto alle due variabili, le pongo a sistema risolvendolo e trovando un punto.
3- calcolo l'hessiana della funzione in modo da controllare il determinante e stabilire di che genere di punto si tratta, in questo caso il determinante esce uguale a $ -1 $ , quindi il punto è di sella e non ci interessa ai fini dell'esercizio.
Passiamo ora a determinare i punti di massimo e di minimo globali nella frontiera del nostro insieme "vincolante"
4- considero la frontiera dell'insieme vincolante quindi solo la parte della disequazione con l'uguale: $ 2x^2+y^2=1 $
5- applico il metodo dei moliplicatori di lagrange, costruisco una equazione del tipo $ F(x,y) - lambda(G(x,y)) $ ovvero:
$ xy-lambda(2x^2+y^2=1) $
6- calcolo quindi le derivate rispetto ad x,y e $ lambda $ dell'equazione appena costruita, e le metto a sistema
7- risolvo il sistema trovando i valori di x, y, $ lambda $
Bene, al passaggio 7 ho dei problemi, infatti non riesco quasi mai a risolvere il sistema, perchè mi vengono equazioni complicate che non hanno riscontro nelle soluzioni del prof. Sono convinto che sbaglio qualche passaggio o dimentico qualcosa.
Grazie a chiunque mi voglia dare una mano!
Da quello che ho capito, per trovare tali punti, bisogna procedere in questo modo:
Trovare i punti di massimo e minimo globali di $ F(x)=xy $ vincolati su $ 2x^2+y^2<=1 $
1- considero prima di tutto la parte interna dell'insieme "vincolante" e quindi la disequazione strettamente minore.
2- calcolo quindi le derivate della funzione rispetto alle due variabili, le pongo a sistema risolvendolo e trovando un punto.
3- calcolo l'hessiana della funzione in modo da controllare il determinante e stabilire di che genere di punto si tratta, in questo caso il determinante esce uguale a $ -1 $ , quindi il punto è di sella e non ci interessa ai fini dell'esercizio.
Passiamo ora a determinare i punti di massimo e di minimo globali nella frontiera del nostro insieme "vincolante"
4- considero la frontiera dell'insieme vincolante quindi solo la parte della disequazione con l'uguale: $ 2x^2+y^2=1 $
5- applico il metodo dei moliplicatori di lagrange, costruisco una equazione del tipo $ F(x,y) - lambda(G(x,y)) $ ovvero:
$ xy-lambda(2x^2+y^2=1) $
6- calcolo quindi le derivate rispetto ad x,y e $ lambda $ dell'equazione appena costruita, e le metto a sistema
7- risolvo il sistema trovando i valori di x, y, $ lambda $
Bene, al passaggio 7 ho dei problemi, infatti non riesco quasi mai a risolvere il sistema, perchè mi vengono equazioni complicate che non hanno riscontro nelle soluzioni del prof. Sono convinto che sbaglio qualche passaggio o dimentico qualcosa.
Grazie a chiunque mi voglia dare una mano!
Risposte
A prima vista non vedo grossi errori, a parte:
l'equazione corretta è $xy-lambda(2x^2+y^2-1)$, se lasci l'uguale dentro alla parentesi non ci vedo alcun significato.
A meno che il problema non fosse proprio questo, prova a proporre un esercizio con relativa soluzione e vediamo se e dove ci sono errori!
Ciao
"Zodiac":
5- applico il metodo dei moliplicatori di lagrange, costruisco una equazione del tipo $ F(x,y) - lambda(G(x,y)) $ ovvero:
$ xy-lambda(2x^2+y^2=1) $
l'equazione corretta è $xy-lambda(2x^2+y^2-1)$, se lasci l'uguale dentro alla parentesi non ci vedo alcun significato.
A meno che il problema non fosse proprio questo, prova a proporre un esercizio con relativa soluzione e vediamo se e dove ci sono errori!
Ciao
Scusa, avevo fatto copia e incolla dalla formula precedente e non mi ero accorto di averci lasciato l'uguale. Mi scuso ancora per la disattenzione, comunque l'errore non è quello, so bene che l'equazione è quella scritta da te, Grazie Comunque!
In ogni caso, prendiamo l'esempio dell'esercizio quì proposto, continuo quindi la risoluzione:
$ { ( Fx=y-4lambdax ),( Fy=x-2lambday ),( Flambda=1-2x^2-y^2 ):} $
Risolvo il sistema ponendo le equazioni uguali a zero:
i risultati che escono fuori sono
$ ( ( -1/2 , -1/sqrt2 , 1/(2*sqrt(2)) ),( -1/2 , 1/sqrt2 , -1/(2*sqrt(2)) ),( 1/2 , -1/sqrt2 , -1/(2*sqrt(2)) ),( 1/2 , 1/sqrt2 , 1/(2*sqrt(2)) ) ) $
$ ( x \ \ y \ \ z ) $
tra questi devo prendere i minimi e massimi?
In ogni caso, prendiamo l'esempio dell'esercizio quì proposto, continuo quindi la risoluzione:
$ { ( Fx=y-4lambdax ),( Fy=x-2lambday ),( Flambda=1-2x^2-y^2 ):} $
Risolvo il sistema ponendo le equazioni uguali a zero:
i risultati che escono fuori sono
$ ( ( -1/2 , -1/sqrt2 , 1/(2*sqrt(2)) ),( -1/2 , 1/sqrt2 , -1/(2*sqrt(2)) ),( 1/2 , -1/sqrt2 , -1/(2*sqrt(2)) ),( 1/2 , 1/sqrt2 , 1/(2*sqrt(2)) ) ) $
$ ( x \ \ y \ \ z ) $
tra questi devo prendere i minimi e massimi?
Siccome il tuo insieme è compatto, ci saranno sicuramente un massimo e un minimo (almeno). Data la tua funzione, vedrai che hai esattamente due punti di massimo e due di minimo, basta calcolare la funzione nei quattro punti e scopri anche chi sono (sempre che i calcoli siano corretti, non ho controllato).
ok, quindi basta calcolare la funzione nei punti z e le corrispondenti x ed y, quando F(z) risulta minima e massima, allora saranno rispettivamente il minimo ed il massimo di F
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