[Analisi II - Volume di un solido

[Riri28]

Salve ragazzi, vorrei il vostro aiuto in merito a questi due esercizi.

Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di ampiezza $ Pi $ intorno a z del triangolo di vertici A=(0,0,0), B=(4,0,4) e C=(4,0,0). Inoltre determinare l'area della superficie generata dalla rotazione del segmento di estremi AB.



Ho calcolato l'equazione del segmento del piano xz che ha per estremi i punti (0,0) e (4,4) ed ottengo: $ y=x $
Quindi:
$ D={(x,y) : x in [0,4], z in [0,x]} $

$m_3 (T) = Pi int_(0) ^4x dx int_(0)^(x) dz = Pi 64/3 $

Poi ho calcolato l'area e lì non credo di avere problemi.
Ora in breve vorrei sapere se il procedimento precedente è giusto e vorrei un aiuto per un altro esercizio dove la cosa diversa è che il triangolo è dato dai vertici
A= (0,-5,0), B=(0,-3,-2) e C=(0,-3,0).
Il mio problema è che il triangolo ora si trova nel semipiano zy entrambi negativi. Ho cercato di procedere normalmente e di "adattare" la formula dell'integrale a questo caso, ma il risultato mi viene negativo...quindi ho sbagliato qualcosa
Vi allego il procedimento.


Cosa ho sbagliato?
Grazie in anticipo!!

[Riri28]

Ti ringrazio! Si infatti avevo sbagliato la retta
Anche se non capisco perchè metti [0, -u-5] e non il contrario...

[afrizzi]

Ragazzi posso chiedervi un favore? ho visto il vostro esercizio e mi trovo perfettamente con voi. Ho provato a fare un altro esercizio e non riesco a trovarmi, o meglio mi trovo 2 risultati differenti con 2metodi differenti. L'esercizio è: calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di ampiezza pgreco del triangolo di vertici A(1,0,0) B(1,0,3) C(3,0,0) attorno all'asse Z. Calcolare inoltre l'area della superficie descritta nella rotazione dal segmento BC. Sono riuscito a fare solo il volume e facendolo con gli integrali doppi ottengo (28/3)pgreco invece facendolo con la formula dei solidi, oppure utilizzando il baricentro del triangolo ed applicando la formula di Guldino ottengo 5pgreco.

[Exp1]

Salve, ho fatto anche io questo esercizio, infatti mi trovo il volume 5pi, ma non mi trovo con la superficie, io mi trovo (3/4)pisqrt(13), potreste gentilmente spiegarmi come vi siete trovati quella formula?

[Exp1]

Grazie adesso credo di aver capito

[afrizzi]

Grazie 1000 sei stato davvero esaustivo. In realtà non mi trovavo poiché avevo sbagliato una semplificazione. Però mi hai fatto capire benissimo.