Analisi II: volume
salve ragazzi
ho questo esercizio che non saprei come impostare: determinare il volume dell'insieme
$ D= (x,y,z) in r^3 : x^2+y^2<=3, 3x^2+3y^2+z^2<=27 $
come potrei parametrizzare il dominio? ho provato con le cordinate sferiche, ma mi trovo dinanzi ad un muro. probabilmente non ho interpretato bene il dominio. suggerimenti? grazie
ho questo esercizio che non saprei come impostare: determinare il volume dell'insieme
$ D= (x,y,z) in r^3 : x^2+y^2<=3, 3x^2+3y^2+z^2<=27 $
come potrei parametrizzare il dominio? ho provato con le cordinate sferiche, ma mi trovo dinanzi ad un muro. probabilmente non ho interpretato bene il dominio. suggerimenti? grazie
Risposte
riconduciti alla forma
$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$
che è un ellissoide.
E poi sostituisci in tal modo
$\{(x = a*cos(alpha)*cos(phi)),(y = b*cos(alpha)*sin(phi)),(z = c*sin(alpha)):}$
con
$-90°<=alpha<=90°$
e
$0°<=phi<=360°$ (ovviamente radianti, ho scritto così per comodità!!!)
provaci dovrebbe funzionare
$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$
che è un ellissoide.
E poi sostituisci in tal modo
$\{(x = a*cos(alpha)*cos(phi)),(y = b*cos(alpha)*sin(phi)),(z = c*sin(alpha)):}$
con
$-90°<=alpha<=90°$
e
$0°<=phi<=360°$ (ovviamente radianti, ho scritto così per comodità!!!)
provaci dovrebbe funzionare
e il cilindro $x^2+y^2<=3$ che fine fa?
Sono d'accordo con fabio che $3x^2+3y^2+z^2<=27$ sia un elissoide, un elissoide di rotazione per la precisione (se lo affettiamo con piani perpendicolari all'asse z otteniamo dei cerchi). Questo elissoide però si interseca con il cilindro $x^2+y^2<=3$, o sbaglio?
Sono d'accordo con fabio che $3x^2+3y^2+z^2<=27$ sia un elissoide, un elissoide di rotazione per la precisione (se lo affettiamo con piani perpendicolari all'asse z otteniamo dei cerchi). Questo elissoide però si interseca con il cilindro $x^2+y^2<=3$, o sbaglio?
forse dico una boiata di quelle da essere bannato a vita, ma ora che lo guardo meglio, l'ellissoide non è compreso completamente all'interno del cilindro (tangente all'interno del cilindro)???
in tal caso (sicuramente lo interpreto male) il problema si ridurrebbe al calcolo del volume dell'ellissoide.
Scusate se dico stupidaggini, ricordavo quella sostituzione per l'ellissoide e per questo ho risposto per il resto sono passati anni da quando ho sostenuto analisi II e in quel che studio attualmente tali conoscenze servono poco. (se state pensando che mi stia giustificando, per l'eventuale errore scritto, avete indovinato...mi sto giustificando!xD)
in tal caso (sicuramente lo interpreto male) il problema si ridurrebbe al calcolo del volume dell'ellissoide.
Scusate se dico stupidaggini, ricordavo quella sostituzione per l'ellissoide e per questo ho risposto per il resto sono passati anni da quando ho sostenuto analisi II e in quel che studio attualmente tali conoscenze servono poco. (se state pensando che mi stia giustificando, per l'eventuale errore scritto, avete indovinato...mi sto giustificando!xD)
magari sbaglio io...
il cilindro dovrebbe avere raggio $sqrt3$
mentre i semiassi del nostro elissoide dovrebbero essere $3$, $3$ e $3sqrt3$
$3x^2+3y^2+z^2<=27 -> x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$
il cilindro dovrebbe avere raggio $sqrt3$
mentre i semiassi del nostro elissoide dovrebbero essere $3$, $3$ e $3sqrt3$
$3x^2+3y^2+z^2<=27 -> x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$
giusto giusto ecco dove stava la magagna...
quindi di un ellissoide di assi lunghi $3$,$3$,$3sqrt(3)$ rispettivamente lungo x,y,z dobbiamo considerare l'intersezione con il cilindro di raggio $sqrt(3)$
quindi di un ellissoide di assi lunghi $3$,$3$,$3sqrt(3)$ rispettivamente lungo x,y,z dobbiamo considerare l'intersezione con il cilindro di raggio $sqrt(3)$
già
a questo punto aspetterei le osservazioni di domax93, in fondo l'open poster è lui.
Cosa studi fabio?
a questo punto aspetterei le osservazioni di domax93, in fondo l'open poster è lui.
Cosa studi fabio?
Ingegneria Meccanica. Tu lavori? Di cosa ti occupi? (supponendo che il 73 nel nick non sia l'età!)
Ma forse di questo è meglio parlarne altrove per non intasare il thread... sai com'è...magari qualche mod a caso potrebbe lamentarsi
Ma forse di questo è meglio parlarne altrove per non intasare il thread... sai com'è...magari qualche mod a caso potrebbe lamentarsi
sembra che domax abbia perso interesse
giusto per concludere a me viene $V=pi(36sqrt3-24sqrt2)$, coincide col tuo?
Mi capita spesso di fare errori di calcolo.
Sì lavoro e per come stanno andando le cose probabilmente lavorerò anche quando avrò 73 anni.
Anyway l'occupazione di oggi sono le pulizie domestiche.
giusto per concludere a me viene $V=pi(36sqrt3-24sqrt2)$, coincide col tuo?
Mi capita spesso di fare errori di calcolo.
Sì lavoro e per come stanno andando le cose probabilmente lavorerò anche quando avrò 73 anni.
Anyway l'occupazione di oggi sono le pulizie domestiche.
GRAZIE per le risposte ad entrambi, non mi aspettavo questo "successo" 
non ho perso l'interesse, ho avuto altre cose da fare. riguardo la discussione stasera e vediamo cosa ne vien fuori. Grazie ancora
non ho perso l'interesse, ho avuto altre cose da fare. riguardo la discussione stasera e vediamo cosa ne vien fuori. Grazie ancora
comincio con alcune osservazioni, chiedo scusa in partenza se si dovessero rivelare inesatte.
cominciamo: perché definite $ x^2+y^2<=3 $ come un cilindro? io vedo una bella circonferenza....
quando vado a ricondurmi nella forma $ 3x^2+3y^2+z^2<=27 -> x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$
come faccio ad ottenere $ x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1 $
io farei : $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $
a questo punto $ a=1/sqrt1=1 $
stessa cosa $ b $
mentre per $ c= 1/(1/sqrt3)=sqrt3 $
la parametrizzazione risulta:
$ \{(x = cos(alpha)*cos(phi)),(y = cos(alpha)*sin(phi)),(z = sqrt3*sin(alpha)):} $
ora sostituisco queste cordinate, sia in $ x^2+y^2<=3$ e anche in $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $ ?
grazie
update: sostituendo in $ x^2+y^2<=3$, mi trovo che viene $( cos^3(alpha))<=3 $
sostituendo in $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $, mi trovo che viene $ cos^2(alpha)+1/3sin^2(alpha)<=9 $
non riuscendo ad applicare $ cos^2(alpha)+sin^2(alpha)=1 $
cominciamo: perché definite $ x^2+y^2<=3 $ come un cilindro? io vedo una bella circonferenza....
quando vado a ricondurmi nella forma $ 3x^2+3y^2+z^2<=27 -> x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$
come faccio ad ottenere $ x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1 $
io farei : $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $
a questo punto $ a=1/sqrt1=1 $
stessa cosa $ b $
mentre per $ c= 1/(1/sqrt3)=sqrt3 $
la parametrizzazione risulta:
$ \{(x = cos(alpha)*cos(phi)),(y = cos(alpha)*sin(phi)),(z = sqrt3*sin(alpha)):} $
ora sostituisco queste cordinate, sia in $ x^2+y^2<=3$ e anche in $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $ ?
grazie
update: sostituendo in $ x^2+y^2<=3$, mi trovo che viene $( cos^3(alpha))<=3 $
sostituendo in $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $, mi trovo che viene $ cos^2(alpha)+1/3sin^2(alpha)<=9 $
non riuscendo ad applicare $ cos^2(alpha)+sin^2(alpha)=1 $
"domax93":
comincio con alcune osservazioni, chiedo scusa in partenza se si dovessero rivelare inesatte.
cominciamo: perché definite $ x^2+y^2<=3 $ come un cilindro? io vedo una bella circonferenza....
nel piano $xy$, ma tu sei nello spazio, aren't you?
"domax93":
quando vado a ricondurmi nella forma $ 3x^2+3y^2+z^2<=27 -> x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$
come faccio ad ottenere $ x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1 $
io farei : $ x^2+y^2+z^2/3<=9 $
se vuoi la forma canonica al secondo membro devi avere 1
grazie, sei stato chiaro.
ora parametrizzo $x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$ e vediamo se mi trovo davanti ad un muro. tu hai fatto cosi?
ora parametrizzo $x^2/9+y^2/9+z^2/27<=1$ e vediamo se mi trovo davanti ad un muro. tu hai fatto cosi?
no
al momento non saprei come continuare... suggerimenti? Grazie
Come ho già detto a fabio, ho calcolato il volume del cilindro e poi ho sommato il volume delle due calotte elissoidali.
"gio73":
sembra che domax abbia perso interesse
giusto per concludere a me viene $V=pi(36sqrt3-24sqrt2)$, coincide col tuo?
Mi capita spesso di fare errori di calcolo.
Sì lavoro e per come stanno andando le cose probabilmente lavorerò anche quando avrò 73 anni.
Anyway l'occupazione di oggi sono le pulizie domestiche.
mmm
non mi coincide...quasi sicuramente sbaglio ma non capisco dove
ho calcolato il volume del cilindro
$V_(cil)=pi*r^2*h$
$r$ abbiamo appurato che vale $sqrt(3)$, $h$ invece l'ho calcolata e mi viene fuori pari a $6*sqrt(2)$
quindi
$V_(cil)=18*pi*sqrt(2)$
una sola calotta dell'ellissoide mi viene $pi*(9*sqrt(3)-12*sqrt(2))$
quindi due calotte $pi*(18*sqrt(3)-24*sqrt(2))$
devo aggiungere ora il volume del cilindro
et voilà
$V_(tot)=pi*(18*sqrt(3)-24*sqrt(2))+18*pi*sqrt(2)=pi*(18*sqrt(3)-6*sqrt(2))$
...se necessario ti posto l'integrale (in privato! altrimenti troppo facile per domax!XD)
fammi sapere
D'accordo per il cilindro, mandami l'integrale in privato. Ripeto, di distrazioni e errori di calcolo ne faccio quindi è possibilissimo che abbia ragione tu.
"fhabbio":
...se necessario ti posto l'integrale (in privato! altrimenti troppo facile per domax!XD)
fammi sapere
ma che cattiveria ahahhah
stasera cerco di postare lo svolgimento completo
lascia a fabio l'onore/onere di seguirti
caro domax,
ho inviato l'integrale a gio, ma ho inviato l'integrale rivisitato e corretto
eheh
tu invece a che punto sei???
ho inviato l'integrale a gio, ma ho inviato l'integrale rivisitato e corretto
ehehtu invece a che punto sei???
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