Analisi II (topologia)

[_Tipper]

Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo esercizio?

Sia A un insieme contenuto in R3 e così definito:

A={(x,y,z) z=1, x^2+y^2<=1}

determinare la frontiera di A e l'insieme dei punti interni ad A.
Dire inoltre se A è chiuso o aperto.

Grazie

[Legolas87]

A è un cerchio di raggio 1 sul un piano parallelo al piano xy.
E' un insieme chiuso (è un cerchio).
Frontiera: {(x,y,z) z=1, x^2+y^2=1}
Punti interni: {(x,y,z) z=1, x^2+y^2<1}

Ho sbagliato qualcosa?

[Pachito1]

No è corretto. L'insieme è l'intersezione di un cilindro pieno indefinito x^2+y^2<=1 con un piano ad esso perpendicolare z=1.

[_Tipper]

Ok, grazie per la risposta.
E per quanto riguarda questo esercizio cosa sapreste dirmi?
si f una funzione così definita
f(x,y,z)=sqrt(z-x^2-y^2)+ln(4-x^2-y^2-z^2)
Si determini il dominio trovando la frontiera e determinando se si tratta di un insieme aperto o chiuso.
Il dominio è ovviamente dato da (z-x^2-y^2)>=0 e (4-x^2-y^2-z^2)>0.
A occhio (ma solo a OCCHIO) direi che l'insieme non è né aperto né chiuso, in quanto una parte della frontiera è compresa nel dominio, l'altra no.
Potreste darmi una mano?

Grazie

[asdf4]

quote:

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Originally posted by Tipper

Ok, grazie per la risposta.
E per quanto riguarda questo esercizio cosa sapreste dirmi?
si f una funzione così definita
f(x,y,z)=sqrt(z-x^2-y^2)+ln(4-x^2-y^2-z^2)
Si determini il dominio trovando la frontiera e determinando se si tratta di un insieme aperto o chiuso.
Il dominio è ovviamente dato da (z-x^2-y^2)>=0 e (4-x^2-y^2-z^2)>0.
A occhio (ma solo a OCCHIO) direi che l'insieme non è né aperto né chiuso, in quanto una parte della frontiera è compresa nel dominio, l'altra no.
Potreste darmi una mano?

Grazie

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Guarda, per quel poco che ne so di quadriche la regione di R^3 che ti interessa è all'interno della sfera avente raggio (quindi esclusa la frontiera), ma contemporaneamente tutte le z "al di sopra" del paraboloide di rotazione x^2 + y^2. Tuttavia in questo caso la superficie di paraboloide è inclusa. L'insieme non è nè aperto nè chiuso, perchè non è composto solo da punti interni, ed esistono anche punti di accumulazione che non appartengono ad esso ( quelli della superficie sferica). La regione ha simmetria attorno all'asse delle z e sta nel semispazio delle z positive. La frontiera la trovi facilmente proiettando la regione sui piani formati dagli assi coordinati e sfruttando la simmetria... Ti lascio il piacere di provarci se ti serve una mano ne discutiamo insieme