Analisi II - Serie di Fourier e trasformata

[Garlick]

Ciao, tra poco ho un esame e sono un po' indietro, potreste farmi uno schemino delle cose principali da sapere sulle serie di Fourier? Ad esempio, io so che sapendo com'è definita la funzione si può stabilire la convergenza puntuale, quadratica e totale "solamente" guardando il grafico, cioè vedendo se è continua a tratti o cose del genere. Come funziona di preciso?

Altra domanda: so come fare a fare la trasformata di fourier di una funzione attraverso le tabelle, ma se la funzione è definita diversamente su due o più intervalli come ci si comporta? ad esempio nel caso in cui la funzione valga 9 per -3<=t<= 3 e valga 18-3t per 3
Grazie!

[Teo Mi]

Su Fourier vorrei chiedere una cosa anche io.

Se voglio calcolare i coeffiienti di Fourier rispetto al sistema ortonormale:

[size=150]sqrt(2) sin(pigreca n x)[/size] per n da 1 a infinito come faccio?

[david_e1]

Se $H$ e' uno spazio di Hilbert e ${\phi_j}_j$ e' una base ortogonale per $H$ allora $forall f \in H$:

$ f = \sum_j ( < f(x) , \phi_j(x) > )/(||\phi_j||^2) \phi_j(x) $

Dove:

$ \sum_j ( < f(x) , \phi_j(x) > )/(||\phi_j||^2) $

Sono i coefficienti di Fourier.

Nel tuo caso quella e' una base per $L^2(-1,1)$ per cui:

$ ||\phi_j||^2 = \int_{-1}^1 2 (sin(pi n x))^2 dx $

e:

$ < f(x) , \phi_j(x) > = \int_{-1}^1 \sqrt{2} sin(pi n x) f(x) dx $

@ Garlick

Questo e' un estratto di un formulario che ho preparato per Analisi D su queste cose:



*** EDIT ***
Con $\sigma_f$ indico la serie di fourier di $f$.