[Analisi II] Provare che le derivate parziali miste di una funzione sono diverse

[Alessandro942]

Ciao a tutti! Sto preparando l'esame di Analisi II e mi sono imbattuto in un esercizio particolare. La traccia è semplice: provare che la funzione \(\displaystyle f(x, y) = \begin{cases}
{xy(x^2-y^2)\over(x^2+y^2)} se (x,y)\not=(0,0)\\ 0 se (x,y)=(0,0)
\end{cases} \) ha derivate parziali miste diverse in \(\displaystyle (0,0) \).
Suppungo che vada risolto sfruttando il teorema di Schwarz, secondo il quale, se la funzione ha derivate seconde miste continue, allora le derivate sono uguali. Però, che io sappia, il teorema non dice nulla a proposito del caso in cui le derivate non sono continue..
Inoltre mi sembra strano che venga chiesto di calcolare una derivata del genere, già la derivata prima è abbastanza complessa.

Secondo voi esistono altri metodi per risolverlo?

[ciampax]

Enuncia per bene il Teorema di Schwarz: dovresti controllare che tutte le ipotesi sulla funzione siano verificate e, secondo me, ad occhio, qui c'è almeno una cosa che non funziona.

[stormy1]

secondo me il metodo è uno solo : definire $f_x$ e $f_y$ in tutto il dominio,calcolando il loro valore nell'origine applicando la definizione di derivata parziale
poi ,sempre applicando la definizione,devi calcolare il valore delle derivate parziali miste nell'origine

[Alessandro942]

"ciampax":Enuncia per bene il Teorema di Schwarz: dovresti controllare che tutte le ipotesi sulla funzione siano verificate e, secondo me, ad occhio, qui c'è almeno una cosa che non funziona.

Per il teorema di Schwarz la funzione deve essere definita in un aperto di \(\displaystyle R^2 \), e appartenere all'insieme \(\displaystyle C^2 \) di quell'aperto. In questo caso, la funzione mi sembra che sia definita in tutto \(\displaystyle R^2 \), ed è continua anche nell'origine. Anche la derivata prima è continua nell'origine, sinceramente alla derivata seconda non sono arrivato, perchè ero convinto che ci fosse un metodo migliore. A questo punto calcolo anche la derivata seconda?

Ma comunque mi chiedo se sia la strada giusta.. comunque il teorema non mi assicura che le derivate parziali sono diverse se le ipotesi non vengono rispettate, o sbaglio? Al massimo potrei dire se sono uguali, tramite questo teorema.

"stormy":secondo me il metodo è uno solo : definire $ f_x $ e $ f_y $ in tutto il dominio,calcolando il loro valore nell'origine applicando la definizione di derivata parziale
poi ,sempre applicando la definizione,devi calcolare il valore delle derivate parziali miste nell'origine

Quindi calcolo i valori e controllo se sono uguali.. All'inizio l'approccio "forza bruta" mi pareva inappropriato, ma forse è l'unica strada..

Comunque grazie per le risposte