Analisi II - Funzioni Lipschitziane, funzioni sublineari
Salve a tutti! Vi enuncio il mio problema:
mi piacerebe capire nella sostanza quale sia la differenza sensibile tra la lipschitzianità e la sublinearità.
Da quanto ho studiato, la lipschitzianità globale assicura una crescità della funzione al più lineare, quella locale assicura una crescita "limitata" nell'intorno del punto preso in considerazione. La sublinearità assicura ancora una volta una crescità al più lineare. Tuttavia non ho colto la differenza tra lipschitzianità globale e sublinearità. Potete fornirmi esempi di funzioni che sono globalmente lipschitziane ma non sublineari e viceversa? Una funzione sublineare è globalmente lipschitziana? Una funzione globalmente lipschitziana è sublineare? Una funzione localmente lips. è sublineare (e viceversa?)?
Inoltre ho notato che il teorema di Cauchy Globale chiede continuità, lipschitzianità locale e sublinearità. Non sarebbero sufficienti continuità e sublinearità?
Grazie in anticipo :woohoo: ,
Mik3
mi piacerebe capire nella sostanza quale sia la differenza sensibile tra la lipschitzianità e la sublinearità.
Da quanto ho studiato, la lipschitzianità globale assicura una crescità della funzione al più lineare, quella locale assicura una crescita "limitata" nell'intorno del punto preso in considerazione. La sublinearità assicura ancora una volta una crescità al più lineare. Tuttavia non ho colto la differenza tra lipschitzianità globale e sublinearità. Potete fornirmi esempi di funzioni che sono globalmente lipschitziane ma non sublineari e viceversa? Una funzione sublineare è globalmente lipschitziana? Una funzione globalmente lipschitziana è sublineare? Una funzione localmente lips. è sublineare (e viceversa?)?
Inoltre ho notato che il teorema di Cauchy Globale chiede continuità, lipschitzianità locale e sublinearità. Non sarebbero sufficienti continuità e sublinearità?
Grazie in anticipo :woohoo: ,
Mik3
Risposte
"Mik3":
Salve a tutti! Vi enuncio il mio problema:
mi piacerebe capire nella sostanza quale sia la differenza sensibile tra la lipschitzianità e la sublinearità.
Da quanto ho studiato, la lipschitzianità globale assicura una crescità della funzione al più lineare, quella locale assicura una crescita "limitata" nell'intorno del punto preso in considerazione. La sublinearità assicura ancora una volta una crescità al più lineare.
Alla fin fine, la sublinearità è una stima di crescita all'infinito per la funzione; mentre la lipschitzianità (locale o globale) è una stima di crescita dei rapporti incrementali della funzione specialmente importante intorno al punto in cui è centrato il rapporto incrementale.
"Mik3":
Tuttavia non ho colto la differenza tra lipschitzianità globale e sublinearità. Potete fornirmi esempi di funzioni che sono globalmente lipschitziane ma non sublineari [...]?
Di esempi di tal fatta non ne trovi, perché la lipschitzianità globale ti assicura la sublinearità. La dimostrazione è immediata.
"Mik3":
[...] e viceversa? Una funzione sublineare è globalmente lipschitziana?
Prendi \(f(x)=\sin x^2\) definita in \([0,\infty[\).
Chiaramente \(f\) è limitata e perciò è sublineare; ma d'altra parte, non è globalmente lipschitziana.
Per vedere ciò, nota che \(f^\prime (x)=2x\ \cos x^2\), cosicché in un intervallo del tipo \(I_n:= [\sqrt{2n \pi}, \sqrt{2(n+1)\pi}]\) la migliore costante di Lipschitz è:
\[
L_n =\max_{x\in I_n} |f^\prime (x)| \sim \sqrt{n}
\]
e le \(L_n\) crescono oltre ogni limite quando prendi \(n\) grande.
"Mik3":
Una funzione localmente lips. è sublineare (e viceversa?)?
No, in tutti e due i versi.
Ad esempio, \(f(x)=x^2\) è localmente lipschitziana, ma non è sublineare in \(\mathbb{R}\).
Ed una funzione del tipo \(f(x)=\sqrt{|x|}\) è sublineare, ma non localmente lipschitziana (problemi intorno a \(0\)).
"Mik3":
Inoltre ho notato che il teorema di Cauchy Globale chiede continuità, lipschitzianità locale e sublinearità. Non sarebbero sufficienti continuità e sublinearità?
Per quanto detto, no.
Ti ringrazio moltissimo, sei stato chiarissimo e veloce!
Quindi se non ho capito male la sublinearità non tiene in considerazione i rapporti incrementali: basta che la funzione all'infinito cresca al più come una retta. Mentre la lipschitzianità considera anche i rapporti incrementali al finito: semplicemente se ho una tangente verticale in un punto non avrò la lipschizianità locale nell'intorno di quel punto!
Ho capito correttamente?
Grazie,
Mik3
Quindi se non ho capito male la sublinearità non tiene in considerazione i rapporti incrementali: basta che la funzione all'infinito cresca al più come una retta. Mentre la lipschitzianità considera anche i rapporti incrementali al finito: semplicemente se ho una tangente verticale in un punto non avrò la lipschizianità locale nell'intorno di quel punto!
Ho capito correttamente?
Grazie,
Mik3
L'idea è quella.
Ne approfitto per fare altre domande:
perchè una funzione localmente lipschitziana può non essere uniformemente continua e viceversa?
Inoltre mi è sorto un dubbio: ho letto un teorema che dice che se una funzione è continua con limiti agli estremi del dominio finiti allora tale funzione è uniformemente continua. Tuttavia se si prova a pensare ad una funzione continua che in una data ascissa presenta un flesso a tangente verticale: tale funzione attraversando il punto di flesso subirebbe una crescita più che lineare (avrebbe derivata prima nel punto infinita). Ammettiamo ora che dopo il flesso la funzione si assesti su un asintoto orizzontale. In questo modo la funzione avrebbe limite all'estremo del dominio finito, eppure avrebbe un rapporto incrementale infinito nel punto di flesso. Secondo il teorema citato dovrebbe essere uniformemente continua. Può esserlo anche se ha rapporti incrementali infiniti?
perchè una funzione localmente lipschitziana può non essere uniformemente continua e viceversa?
Inoltre mi è sorto un dubbio: ho letto un teorema che dice che se una funzione è continua con limiti agli estremi del dominio finiti allora tale funzione è uniformemente continua. Tuttavia se si prova a pensare ad una funzione continua che in una data ascissa presenta un flesso a tangente verticale: tale funzione attraversando il punto di flesso subirebbe una crescita più che lineare (avrebbe derivata prima nel punto infinita). Ammettiamo ora che dopo il flesso la funzione si assesti su un asintoto orizzontale. In questo modo la funzione avrebbe limite all'estremo del dominio finito, eppure avrebbe un rapporto incrementale infinito nel punto di flesso. Secondo il teorema citato dovrebbe essere uniformemente continua. Può esserlo anche se ha rapporti incrementali infiniti?
"Mik3":
perchè una funzione localmente lipschitziana può non essere uniformemente continua e viceversa?
Perché può fare schifissimo a livello di crescita all'infinito (ad esempio \(f(x):=x^2\) è localmente lipschitziana in \([0,\infty[\), ma non u.c.), oppure perché fa schifissimo nel comportamento in un estremo dell'intervallo (ad esempio, \(f(x) := \sin \frac{1}{x}\) è localmente lipschitziana in \(]0,1]\), ma non u.c.)
"Mik3":
Inoltre mi è sorto un dubbio: ho letto un teorema che dice che se una funzione è continua con limiti agli estremi del dominio finiti allora tale funzione è uniformemente continua. Tuttavia se si prova a pensare ad una funzione continua che in una data ascissa presenta un flesso a tangente verticale: tale funzione attraversando il punto di flesso subirebbe una crescita più che lineare (avrebbe derivata prima nel punto infinita). Ammettiamo ora che dopo il flesso la funzione si assesti su un asintoto orizzontale. In questo modo la funzione avrebbe limite all'estremo del dominio finito, eppure avrebbe un rapporto incrementale infinito nel punto di flesso. Secondo il teorema citato dovrebbe essere uniformemente continua. Può esserlo anche se ha rapporti incrementali infiniti?
Come già detto, la continuità uniforme non dipende dalla lipschitzianità, ed il problema che tu vedi nel tuo esempio impedisce alla funzione di essere localmente lipschitziana, ma non impedisce in alcun modo la continuità uniforme...
Tanto per esser chiari, la funzione \(f(x):=\sqrt[3]{x}\) non è lipschitziana in \(]-1,1[\) (perché ha un flesso a tangente verticale) e però essa è uniformemente continua in \(]-1,1[\), in quanto risulta:
\[
|f(x) - f(y)| \leq f(|x-y|)\; .
\]
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