[Analisi II] Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza

[ilyily87]

ciao a tutti!
come da titolo stavo cercando la dimostrazione del teorema secondo il quale "Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza"
purtroppo sul Fusco-Marcellini-Sbordone non la trovo ee neppure sui miei appunti
qualcuno potrebbe aiuarmi?

Grazie mille

ila

[Luca.Lussardi]

Cosa intendi per curve equivalenti?

[ilyily87]

date due curve $phi : [a,b]->bbb R^2$ e $psi : [alpha,beta]->bbb R^2$
si dicono equivalenti se esiste un'applicazione $g:[a,b]->[alpha, beta]$ detta cambiamento ammissibile di parametro che deve verificare le seguenti condizioni:
1) $g in C^1([a,b])$
2)$g'(t)!=0 $ per ogni $t in [a,b]$
[size=150]3) $phi(t) = psi(g(t))$ per ogni $t in [a,b]$[/size]

[Luca.Lussardi]

Ah quindi la stessa curva ma parametrizzata da due parametri diversi. Quindi devi dimostrare che la lunghezza non dipende dalla parametrizzazione (per altro cosa "ovvia").

Scrivi la lunghezza di un arco rispetto ad un parametro e cambia il parametro; usando il Teorema di sostituzione per integrali definiti troverai l'asserto.

[ilyily87]

ok, ok grazie...credo di esserci arrivata

[ilyily87]

ciao!

volevo chiederti un'altra cosa:
leggevo tra le domande d'esame della mia prof : "dimostrare che la lunghezza della curva non dipende dalla sua rappresentazione parametrica."

pensi che possa usare lo stesso teorema per dimostrare ciò??

Grazie

ila

[Luca.Lussardi]

E' esattamente lo stesso Teorema.

[ilyily87]

thanks

gentile come sempre