Analisi II: Derivata di funzione composta e cambiamento di variabili
Salve a tutti. Ho incontrato alcune difficoltà con un particolare tipo di esercizi di Analisi II. Per semplicità ve ne cito uno.
Sia \(\displaystyle f(x,y) \) una funzione derivabile in \(\displaystyle R^2 \). Il cambiamento di variabili \(\displaystyle x=u^2v\), \(\displaystyle y=\sin(u+v) \) dà luogo alla funzione composta \(\displaystyle F(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) \). Calcolare la derivata parziale di \(\displaystyle F \) rispetto a \(\displaystyle u \).
Sinceramente non so proprio come procedere, spero che qualcuno di voi possa aiutarmi. Grazie in anticipo.
Sia \(\displaystyle f(x,y) \) una funzione derivabile in \(\displaystyle R^2 \). Il cambiamento di variabili \(\displaystyle x=u^2v\), \(\displaystyle y=\sin(u+v) \) dà luogo alla funzione composta \(\displaystyle F(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) \). Calcolare la derivata parziale di \(\displaystyle F \) rispetto a \(\displaystyle u \).
Sinceramente non so proprio come procedere, spero che qualcuno di voi possa aiutarmi. Grazie in anticipo.
Risposte
Applicazione della regola della "catena" (derivazione delle funzioni composte). In pratica
$$F_u=f_x\cdot x_u+f_y\cdot y_u$$
dove,per concludere, devi esprimere le derivate di $f$, dopo averle calcolate, con le nuove variabili. Prova.
$$F_u=f_x\cdot x_u+f_y\cdot y_u$$
dove,per concludere, devi esprimere le derivate di $f$, dopo averle calcolate, con le nuove variabili. Prova.
Ti ringrazio per la risposta.
La regola la conosco, quando provo ad applicarla mi calcolo \(\displaystyle x_u = 2uv \) e \(\displaystyle y_u = cos(u+v) \). Però non so come procedere per calcolare \(\displaystyle f_x \) e \(\displaystyle f_y \), dal momento che non conosco la formula di \(\displaystyle f \), so solo che \(\displaystyle f \) dipende da \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \).
Vedo che questo genere di esercizi è abbastanza frequente.. Probabilmente c'è qualcosa che mi sfugge...
La regola la conosco, quando provo ad applicarla mi calcolo \(\displaystyle x_u = 2uv \) e \(\displaystyle y_u = cos(u+v) \). Però non so come procedere per calcolare \(\displaystyle f_x \) e \(\displaystyle f_y \), dal momento che non conosco la formula di \(\displaystyle f \), so solo che \(\displaystyle f \) dipende da \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle y \).
Vedo che questo genere di esercizi è abbastanza frequente.. Probabilmente c'è qualcosa che mi sfugge...
Lasci semplicemente indicata $f$, che altro vuoi fare? 
Così semplice? 
Eppure è preso da una traccia d'esame..
Allora la soluzione sarebbe \(\displaystyle F_u = 2f_x uv + f_y cos(u+v) \)?
Eppure è preso da una traccia d'esame..
Allora la soluzione sarebbe \(\displaystyle F_u = 2f_x uv + f_y cos(u+v) \)?
Yes. Poi magari la traccia era un po' più "espansa"?
No, la traccia è composta da sei esercizi, uno dei quali è proprio quello che ho copiato (Analisi II per il corso di Fisica).
Comunque grazie mille per l'aiuto.
Comunque grazie mille per l'aiuto.
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