[Analisi II] Curva racchiusa da una curva
Salve a tutti, oggi vi chiedo come si risolve un esercizio che il mio prof mette molto raramente nei suoi compiti, ma è sempre bene saperlo risolvere. si tratta del calcolo dell'area di una curva $ rho(theta) $ quindi in funzione di theta.
So già risolvere gli integrali per trovare l'area racchiusa da una porzione di grafico e cose simili, ma il problema sorge quando ho rho in funzione di theta, e non so come procedere.
Visto che solo con la teoria è praticamente impossibile spiegare questi tipi di esercizi, vi pongo un quesito d'esame del professore:
Determinare l'area racchiusa dalla curva $ rho(theta)= sen(2theta) $ con $ 0
In questo caso purtroppo non so da dove partire, ora vi propongo una mia possibile soluzione, ovviamente sarà sicuramente sbagliatissima perchè appunto non so da dove partire, ma visto che fa parte del regolamento del forum, la faccio lo stesso:
Allora parto subito vedendo che ldovrò risolvere un'integrale doppio, gli estremi di integrazione di thetali conosco già, infatti me li ha dati il prof, devo passare agli estremi di integrazione di rho, essendo rho in funzione del seno di theta, so che il seno è una funzione oscillante tra -1 ed 1, non potendo essere negativo, rho allora varierà tra 0 ed 1 e l'integrale doppio che verrà fuori sarà:
$ int_(0)^(1) rho drhod theta rArr int_(0)^(pi/2) int_(0)^(1)sen(2theta)drhod theta rArr int_(0)^(pi/2) sen(2theta)d theta int_(0)^(1)drho rArr $
$ rArr 1/2int_(0)^(pi/2)2sen(2theta)rArr -1/2cos(2theta)( (pi/2), (0) ) rArr -1/2(-2) rArr 1 $
Ora come vedete il risultato mi viene fuori 1, non so se sia giusto o meno, ma penso che comunque sia sbagliato.
So già risolvere gli integrali per trovare l'area racchiusa da una porzione di grafico e cose simili, ma il problema sorge quando ho rho in funzione di theta, e non so come procedere.
Visto che solo con la teoria è praticamente impossibile spiegare questi tipi di esercizi, vi pongo un quesito d'esame del professore:
Determinare l'area racchiusa dalla curva $ rho(theta)= sen(2theta) $ con $ 0
In questo caso purtroppo non so da dove partire, ora vi propongo una mia possibile soluzione, ovviamente sarà sicuramente sbagliatissima perchè appunto non so da dove partire, ma visto che fa parte del regolamento del forum, la faccio lo stesso:
Allora parto subito vedendo che ldovrò risolvere un'integrale doppio, gli estremi di integrazione di thetali conosco già, infatti me li ha dati il prof, devo passare agli estremi di integrazione di rho, essendo rho in funzione del seno di theta, so che il seno è una funzione oscillante tra -1 ed 1, non potendo essere negativo, rho allora varierà tra 0 ed 1 e l'integrale doppio che verrà fuori sarà:
$ int_(0)^(1) rho drhod theta rArr int_(0)^(pi/2) int_(0)^(1)sen(2theta)drhod theta rArr int_(0)^(pi/2) sen(2theta)d theta int_(0)^(1)drho rArr $
$ rArr 1/2int_(0)^(pi/2)2sen(2theta)rArr -1/2cos(2theta)( (pi/2), (0) ) rArr -1/2(-2) rArr 1 $
Ora come vedete il risultato mi viene fuori 1, non so se sia giusto o meno, ma penso che comunque sia sbagliato.
Risposte
Prova ad astrarre un poco.
Non pensare a questi $\rho$ e $\theta$ come a raggio e angolo in un piano cartesiano. Prova a pensare a queste due variabili come se fossero semplicemente $x$ e $y$ cambiate di nome. Disegna il grafico: avrai che la $\rho$ (sull'asse delle ascisse, per convenzione) sarà sempre positiva. la $\theta$ invece andrà sull'asse delle ordinate e varierà nel suo intervallo.
Disegna ora la curva $\rho=\sin(2\theta)$ (che puoi vedere come $x=\sin(2y)$).
L'integrale che hai adesso è ancora un integrale doppio? E' un integrale "normale"? E' semplice rispetto alla $\theta$, alla $\rho$?
Trattalo ora come tratteresti un integrale sul piano cartesiano, solo che stai lavorando sul piano di assi $\rho$ e $\theta$.
Non pensare a questi $\rho$ e $\theta$ come a raggio e angolo in un piano cartesiano. Prova a pensare a queste due variabili come se fossero semplicemente $x$ e $y$ cambiate di nome. Disegna il grafico: avrai che la $\rho$ (sull'asse delle ascisse, per convenzione) sarà sempre positiva. la $\theta$ invece andrà sull'asse delle ordinate e varierà nel suo intervallo.
Disegna ora la curva $\rho=\sin(2\theta)$ (che puoi vedere come $x=\sin(2y)$).
L'integrale che hai adesso è ancora un integrale doppio? E' un integrale "normale"? E' semplice rispetto alla $\theta$, alla $\rho$?
Trattalo ora come tratteresti un integrale sul piano cartesiano, solo che stai lavorando sul piano di assi $\rho$ e $\theta$.
Si ma attenzione: l'area sottesa dalla curva $r=f(\theta)$ NON è uguale a $\int f(\theta)d\theta$. Un fisico se ne accorge subito facendo una analisi dimensionale: $\theta$ non ha dimensione, quindi $f(\theta)d\theta$ non può essere un'area.
La formula corretta è
\[
A = \int_a^b \frac{f(\theta)^2}{2}\, d\theta.\]
Questo fatto si capisce molto meglio usando l'analisi di vecchia scuola, con gli infinitesimi. Oppure ci si arriva, come dice Frink, scrivendo un integrale doppio e cambiando variabili.
La formula corretta è
\[
A = \int_a^b \frac{f(\theta)^2}{2}\, d\theta.\]
Questo fatto si capisce molto meglio usando l'analisi di vecchia scuola, con gli infinitesimi. Oppure ci si arriva, come dice Frink, scrivendo un integrale doppio e cambiando variabili.
aspettate un attimo, da quello che dice dissonance ho sbagliato solamente a calcolare l'integrale in $ f(theta) $ , al posto di calcolarlo in $ f(theta)^2/2 $ ? per il resto ho capito come calcolare tale integrale?
No, non mi pare tu abbia impostato l'esercizio correttamente. Se vuoi usare gli integrali doppi invece della formula che dicevo io, ti tocca ragionare un po' di più. Devi infatti calcolare questo integrale doppio:
\[
A= \iint_{r<\sin \theta,\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}} r\, dr\, d\theta.
\]
Se capisci come svilupparlo, vedrai che è uguale esattamente a
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 \theta}{2}\, d\theta,
\]
ossia la formula che citavo prima.
\[
A= \iint_{r<\sin \theta,\ 0<\theta<\frac{\pi}{2}} r\, dr\, d\theta.
\]
Se capisci come svilupparlo, vedrai che è uguale esattamente a
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 \theta}{2}\, d\theta,
\]
ossia la formula che citavo prima.
ok perfetto. ho rivisto l'esercizio ed effettivamente bastava calcolare l'integrale che hai scritto tu. grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo