Analisi II convergenza uniforme

[fed_27]

Salve a a tutti ho dei dubbi su alcuni esempi che mi riporta il libro per la convergenza uniforme
Prende la successione $f_k (x)=x^2/(k+x^2)
fa il limite puntuale e viene nullo
poi cerca l'estremo superiore imponendo lim x che tende all'infinito della successione sopra e viene pari ad 1 quindi non è uniforme .
Successivamente però prende la stessa successione impone un intervallo (a,b) e verifica la convergenza uniforme

sup$[|f_k (x)-f(x)|: x in [a,b]]=$sup$[x^2/(k+x^2 ) $:$x in [a,b]]= max [a^2/(k+a^2),b^2/(k+b^2)]=c^2/(k+c^2)$

e dice che va a zero per k tendente a + 00

i miei dubbi sono:
1)quali sono i passaggi per verificare la convergenza uniforme senza ricorrere a quella totale (mi serve per tre esercizi)
2)perche la prima volta il limite presenta x tendente a +00 e nel secondo caso ricorre a k tendente a +00 ?
grazie

[ViciousGoblin]

"fed27":Salve a a tutti ho dei dubbi su alcuni esempi che mi riporta il libro per la convergenza uniforme
Prende la successione $f_k (x)=x^2/(k+x^2)
fa il limite puntuale e viene nullo
poi cerca l'estremo superiore imponendo lim x che tende all'infinito della successione sopra e viene pari ad 1 quindi non è uniforme .
Successivamente però prende la stessa successione impone un intervallo (a,b) e verifica la convergenza uniforme

sup$[|f_k (x)-f(x)|: x in [a,b]]=$sup$[x^2/(k+x^2 ) $:$x in [a,b]]= max [a^2/(k+a^2),b^2/(k+b^2)]=c^2/(k+c^2)$

e dice che va a zero per k tendente a + 00

i miei dubbi sono:
1)quali sono i passaggi per verificare la convergenza uniforme senza ricorrere a quella totale (mi serve per tre esercizi)
2)perche la prima volta il limite presenta x tendente a +00 e nel secondo caso ricorre a k tendente a +00 ?
grazie

1) non capisco la prima domanda, dato che la convergenza totale, per come la so io, riguarda le serie di funzioni
2) il limite in $x$ serve per trovare il sup - la definizione di convergenza uniforme richiede che il sup in $x$ (delle differenze tra le $f_k$ e il limite $f$) vada a zero. Anche nel primo caso,
se il sup fosse venuto finito, avrebbe dovuto poi far tendere $k\to\infty$ e vedere se il limite dei sup veniva zero.
Invece nel secondo caso non ha fatto limiti in $x$ perche' il sup su $[a,b]$ si vede a occhio, dato che la funzione $f_k$ e' crescente - tra l'altro non capisco quel $c$ che secondo me dovrebbe essere $b$

[fed_27]

1) non capisco la prima domanda, dato che la convergenza totale, per come la so io, riguarda le serie di funzioni

uhm si volevo sapere praticamente come devo ragionare quando ho davanti per esempio

$f_n(x)=nx/(1+n^2x^2)$

trovo il limite ,faccio la derivata? anche durante la spiegazionela prof non è stata chiarissima
se potesse aiutarmi un attimo

[ViciousGoblin]

"fed27":1) non capisco la prima domanda, dato che la convergenza totale, per come la so io, riguarda le serie di funzioni

uhm si volevo sapere praticamente come devo ragionare quando ho davanti per esempio

$f_n(x)=nx/(1+n^2x^2)$

trovo il limite ,faccio la derivata? anche durante la spiegazionela prof non è stata chiarissima
se potesse aiutarmi un attimo

Diciamo che devi studiare la convergenza uniforme di $f_$ ( e non, almeno per ora, di $\sum_{n=0}^\infty f_n$). DIrei che devi:

1) trovare il limite puntuale delle $f_n$ fissando $x$ e facendo tendere $n$ a infinito. In questo modo trovi una $f(x)$ - nel tuo esempio $f(x)$ viene zero per ogni $x$

2) Calcolare, per ogni $n$, il massimo o piu' in generale il sup della differenza $f_n(x)-f(x)$ sull'insieme di definizione. Questo si traduce in uno studio di funzione
per $f_n-f$ (che diventa la sola $f_n$ se, come nel tuo caso $f$ fa zero). Per questo studio devi usare gli strumenti usuali - la derivata di solito serve.

3) Devi vedere se la successione dei sup, che hai trovato al punto precedente tende a zero per $n\to\infty$ - se non lo fa la convergenza non e' uniforme.

Come si vede dall'esempio del tuo post precedente i sup del punto 2 possono cambiare se si cambia il dominio su cui si considerano le $f_n$. Quindi la convergenza puo' essere o meno uniforme
a seconda del dominio scelto.

[ViciousGoblin]

Ehhm, forse volevi piu' aiuto con il tuo esempio $f_n(x)=nx/(1+n^2x^2)$. Allora

1) il limite puntual e' zero per cui se $f_n$ converge $f_n$ converge a zero.
2) Diciamo che consideriamo le $f_n$ su tutto $RR$. Allora dobbiamo studiare il grafico di $f_n$ su $RR$ per trovare il massimo di $|f_n|$. In realta', dato che $f_n$ e' dispari
basta studiarne il grafico su $[0,+\infty)$. Si ha
$f_n(0)=0$,
$\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=0$;
$f_n'(x)=\frac{n(1+n^2x^2)-nx 2n^2x}{(1+n^2x^2)^2}=\frac{n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x^2)^2}$ e quindi $f_n'(x)=0$ solo per $x=1/n$
Si deduce che $x=1/n$ e' il punto di massimo e il valore massimo e' $f_n(1/n)=1/2$
3) E' vero che $\lim_{n\to\infty}1/2 =0$ ? Ovviamente NO e quindi la succ, non converge uniformemente.

Una variante e' chiedersi se la successione converge uniformemente su $[1,+\infty)$. In questo caso
1) come sopra il limite e' sempre zero
2) Facendo gli stessi calcoli si vede che la derivata di $f_n$ e' sempre negativa per $x\geq1$, quindi il massimo di $f_n$ su $[1,+\infty)$ si trova in $x=1$ e quindi il valore massimo
e' $f(1)=n/(1+n^2)$;
3) $\lim_{n\to\infty}n/(1+n^2)=0$ e quindi stavolta CONVERGE unif. (su $[0,+\infty)$)

[Trist@no]

Diciamo che devi studiare la convergenza uniforme di f ( e non, almeno per ora, di ∑n=0∞fn). DIrei che devi:

1) trovare il limite puntuale delle fn fissando x e facendo tendere n a infinito. In questo modo trovi una f(x) - nel tuo esempio f(x) viene zero per ogni x

2) Calcolare, per ogni n, il massimo o piu' in generale il sup della differenza fn(x)-f(x) sull'insieme di definizione. Questo si traduce in uno studio di funzione
per fn-f (che diventa la sola fn se, come nel tuo caso f fa zero). Per questo studio devi usare gli strumenti usuali - la derivata di solito serve.

3) Devi vedere se la successione dei sup, che hai trovato al punto precedente tende a zero per n→∞ - se non lo fa la convergenza non e' uniforme.

Come si vede dall'esempio del tuo post precedente i sup del punto 2 possono cambiare se si cambia il dominio su cui si considerano le fn. Quindi la convergenza puo' essere o meno uniforme
a seconda del dominio scelto.

Se io ho la seguente serie di funzioni:

$sum_{n=1}^oo [sen(nx^2)]/(n^2x^2)$

facendo i calcoli la funzione f(x) viene zero. Quindi devo studiare il sup di fn. Faccio la derivata e viene

$(2n^3x^3cos(nx^2) - 2n^2xsin(nx^2))/(n^4x^4)$

e ponendola uguale a zero, si ha x=0, valore escluso perchè mi azzera il denominatore. Dunque devo dedurre che non ci sia uniforme convergenza???

[ViciousGoblin]

"Trist@no":

Diciamo che devi studiare la convergenza uniforme di f ( e non, almeno per ora, di ∑n=0∞fn). DIrei che devi:

1) trovare il limite puntuale delle fn fissando x e facendo tendere n a infinito. In questo modo trovi una f(x) - nel tuo esempio f(x) viene zero per ogni x

2) Calcolare, per ogni n, il massimo o piu' in generale il sup della differenza fn(x)-f(x) sull'insieme di definizione. Questo si traduce in uno studio di funzione
per fn-f (che diventa la sola fn se, come nel tuo caso f fa zero). Per questo studio devi usare gli strumenti usuali - la derivata di solito serve.

3) Devi vedere se la successione dei sup, che hai trovato al punto precedente tende a zero per n→∞ - se non lo fa la convergenza non e' uniforme.

Come si vede dall'esempio del tuo post precedente i sup del punto 2 possono cambiare se si cambia il dominio su cui si considerano le fn. Quindi la convergenza puo' essere o meno uniforme
a seconda del dominio scelto.

Se io ho la seguente serie di funzioni:

$sum_{n=1}^oo [sen(nx^2)]/(n^2x^2)$

facendo i calcoli la funzione f(x) viene zero. Quindi devo studiare il sup di fn. Faccio la derivata e viene

$(2n^3x^3cos(nx^2) - 2n^2xsin(nx^2))/(n^4x^4)$

e ponendola uguale a zero, si ha x=0, valore escluso perchè mi azzera il denominatore. Dunque devo dedurre che non ci sia uniforme convergenza???

mhh questo problema e' un po' "truccato": dove sono definite le $f_n$ ? e in che insieme defi studiare la convergenza della serie ?

Perche' in effetti se $f_n(x)=\frac{sin(nx^2)}{n^2x^2}$ le $f_n$ non sono definite in zero. Qui (io personalmente) osserverei che
1) le $f_n$ si possono estendere con continuita' ponendo $f_n(0)=1/n$ (dato che per $x\to 0$ la $f_n(x)$ tende a $1/n$
2) per come e' definita la convergenza uniforme lo studio della convergenza delle $f_n$ originarie su $RR\setminus{0}$ e' lo stesso della convergenza delle nuove $f_n$ su $RR$.

Con questa modifica il problema si risolve (in modo negativo) nella maniera seguente

a) $f_n(0)=1/n$
b) $\sum_n 1/n=+\infty$

allora $\sum_n f_n$ non converge nel unto zero DUNQUE non puo' convergere uniformemente.

Nota peraltro che (sebbene avessi intuito che la non convergenza) il tuo discorso con la derivata non era corretto - in effett1 perche'
-$f_n'(x)$ si annulla in infiniti punti (anche se non e' facile verificarlo) perche' fa infinite oscillazioni
-$f_n'(0)=0$ (ci si arriva mediante il lilmite)

Comunque questo esercizio e' un po' perfido