Analisi II Convergenza puntuale ed uniforme.
Salve gente 
Avrei cortesemente bisogno di qualcuno che mi chiarisca le idee per quanto riguarda questo genere di esercizi.
Ho vari dubbi..ma prima di tutto dovrei capire se l'idea generale che ho in testa è giusta, quindi eccola qui:
So che teoricamente bisognerebbe svolgere il $ lim_(n->+oo)(f_n(x)-f(x)) $ e vedere dove e se converge puntualmente. Successivamente, per ogni intervallo in cui la successione converge puntualmente, trovare il sup quindi $ lim_(n->+oo)sup_((...))|f_n(x)-f(x)| $ dove (...) indica i diversi intervalli in cui calcoleremo il sup.
Se questo limite è 0, allora la funzione converge uniformemente, altrimenti no (e in questo caso si possono trovare dei sottoinsiemi in cui magari la funzione converge uniformemente).
E' giusto? Almeno per grandi linee?
Bene, allora passiamo ai dubbi che mi affliggono.
1) Come si svolge il sup di qualcosa? Non riesco a capire se c'è un metodo standard, in alcuni esercizi sostituiscono alla x i valori, in altri lo lasciano così com'è e fanno semplicemente il lim...non ho capito qual è il criterio utilizzato.
2)Quando devo sostituire i valori alla x nel superiore, come si scegli quale valore dell'intervallo prendere? Io avevo pensato che se la funzione era crescente, bisognava prendere il più grande, se invece era decrescente il più piccolo (boh?)
Ho anche un esercizio da proporre, ma volevo provare prima a svolgerlo io, così cercavo di capire bene dove sbagliavo. Perciò chiedo a voi se per grandi linee questo ragionamento va bene per provare a svolgere qualche successione.
Mi sto dilungando troppo, iniziamo da questo sarebbe già un gran passo!
Confido in voi! Grazie mille cari!
Avrei cortesemente bisogno di qualcuno che mi chiarisca le idee per quanto riguarda questo genere di esercizi.
Ho vari dubbi..ma prima di tutto dovrei capire se l'idea generale che ho in testa è giusta, quindi eccola qui:
So che teoricamente bisognerebbe svolgere il $ lim_(n->+oo)(f_n(x)-f(x)) $ e vedere dove e se converge puntualmente. Successivamente, per ogni intervallo in cui la successione converge puntualmente, trovare il sup quindi $ lim_(n->+oo)sup_((...))|f_n(x)-f(x)| $ dove (...) indica i diversi intervalli in cui calcoleremo il sup.
Se questo limite è 0, allora la funzione converge uniformemente, altrimenti no (e in questo caso si possono trovare dei sottoinsiemi in cui magari la funzione converge uniformemente).
E' giusto? Almeno per grandi linee?
Bene, allora passiamo ai dubbi che mi affliggono.
1) Come si svolge il sup di qualcosa? Non riesco a capire se c'è un metodo standard, in alcuni esercizi sostituiscono alla x i valori, in altri lo lasciano così com'è e fanno semplicemente il lim...non ho capito qual è il criterio utilizzato.
2)Quando devo sostituire i valori alla x nel superiore, come si scegli quale valore dell'intervallo prendere? Io avevo pensato che se la funzione era crescente, bisognava prendere il più grande, se invece era decrescente il più piccolo (boh?)
Ho anche un esercizio da proporre, ma volevo provare prima a svolgerlo io, così cercavo di capire bene dove sbagliavo. Perciò chiedo a voi se per grandi linee questo ragionamento va bene per provare a svolgere qualche successione.
Mi sto dilungando troppo, iniziamo da questo sarebbe già un gran passo!
Confido in voi! Grazie mille cari!
Risposte
"Lala":
Se questo limite è 0, allora la funzione converge uniformemente, altrimenti no (e in questo caso si possono trovare dei sottoinsiemi in cui magari la funzione converge uniformemente).
E' giusto? Almeno per grandi linee?
Si
"Lala":
come si svolge il sup di qualcosa? Non riesco a capire se c'è un metodo standard, in alcuni esercizi sostituiscono alla x i valori, in altri lo lasciano così com'è e fanno semplicemente il lim...non ho capito qual è il criterio utilizzato.
Calcoli i massimi (o minimi, conta quello con modulo maggiore) relativi nel sottoinsieme di $E$ (insieme di convergenza puntuale).
Studi la funzione nell'intervallo, insomma.
Innanzitutto grazie per la risposta! 
Quindi ok, studio la funzione..
Posso proporre un esempio?
$ f_n(x) = |x^(1/n)| $ definita in tutto R
La convergenza puntuale si trova così
$ lim_(n->oo)f_n(x)= { ( 0 ),( 1 ) :} $
0 quando x=0
1 per tutti gli altri valori.
E' esatto?
Ora convergenza uniforme..come si procede?
Grazie!
Quindi ok, studio la funzione..
Posso proporre un esempio?
$ f_n(x) = |x^(1/n)| $ definita in tutto R
La convergenza puntuale si trova così
$ lim_(n->oo)f_n(x)= { ( 0 ),( 1 ) :} $
0 quando x=0
1 per tutti gli altri valori.
E' esatto?
Ora convergenza uniforme..come si procede?
Grazie!
Forse intendi $f_n(x)=\root[n]{|x|}$...
Quella che hai scritto $|\root[n]{x}|$ non è definita quando $x<0$ e $n$ è pari.
Comunque essendoci il valore assoluto $f_n(x)$ è pari $\forall n \in NN$ quindi studiamone la convergenza solo in $[0,+\infty)$.
La convergenza puntuale è esatta e ci dice subito che non converge uniformemente in $[0,+\infty)$, poiché essendo $f_n(x)$ continua per ogni $n \in NN$ se converge uniformemente allora dovrà necessariamente convergere ad una funzione continua:
$$f_n\in C^{0}([a,b])\ e\ f_n \rightarrow f\ unif.\ in\ [a,b] \Rightarrow f \in C^{0}([a,b])$$
è chiaro quindi che non convergendo ad una funzione continua in $[0,+\infty)$ allora non potrà neanche convergere uniformemente.
Detto questo vediamo se converge in un qualsiasi intervallo del tipo $[a,+\infty)$ con $a>0$, cioè domandiamoci: come si comporta la funzione $g_n(x):=|\root[n]{x}-1|$?
Calcoliamo il $Sup$, c'è poco da calcolare infatti $\lim_{x \rightarrow +\infty} \root[n]{x}=+\infty\ \forall n \in NN$ quindi il sup in $[a,+\infty)$ sarà proprio $+\infty\ forall n \in NN$ dunque $\lim_{n \rightarrow +\infty} Sup_{x \in [a,+\infty)} g_n(x)=\lim_{n \rightarrow +\infty} +\infty=+\infty$, concludiamo che $f_n$ non converge uniformemente in $[a,+\infty)$.
E negli intervalli limitati del tipo $[a,b]$ con $a>0$?
Prova tu, considera che $f_n(x)$ è continua e monotona strettamente crescente, inoltre attento che $max_{x \in [a,b]}|f_n(x)-1|$ [nota]perché ho messo max?[/nota] non è sempre $f_n(b)-1$
Quella che hai scritto $|\root[n]{x}|$ non è definita quando $x<0$ e $n$ è pari.
Comunque essendoci il valore assoluto $f_n(x)$ è pari $\forall n \in NN$ quindi studiamone la convergenza solo in $[0,+\infty)$.
La convergenza puntuale è esatta e ci dice subito che non converge uniformemente in $[0,+\infty)$, poiché essendo $f_n(x)$ continua per ogni $n \in NN$ se converge uniformemente allora dovrà necessariamente convergere ad una funzione continua:
$$f_n\in C^{0}([a,b])\ e\ f_n \rightarrow f\ unif.\ in\ [a,b] \Rightarrow f \in C^{0}([a,b])$$
è chiaro quindi che non convergendo ad una funzione continua in $[0,+\infty)$ allora non potrà neanche convergere uniformemente.
Detto questo vediamo se converge in un qualsiasi intervallo del tipo $[a,+\infty)$ con $a>0$, cioè domandiamoci: come si comporta la funzione $g_n(x):=|\root[n]{x}-1|$?
Calcoliamo il $Sup$, c'è poco da calcolare infatti $\lim_{x \rightarrow +\infty} \root[n]{x}=+\infty\ \forall n \in NN$ quindi il sup in $[a,+\infty)$ sarà proprio $+\infty\ forall n \in NN$ dunque $\lim_{n \rightarrow +\infty} Sup_{x \in [a,+\infty)} g_n(x)=\lim_{n \rightarrow +\infty} +\infty=+\infty$, concludiamo che $f_n$ non converge uniformemente in $[a,+\infty)$.
E negli intervalli limitati del tipo $[a,b]$ con $a>0$?
Prova tu, considera che $f_n(x)$ è continua e monotona strettamente crescente, inoltre attento che $max_{x \in [a,b]}|f_n(x)-1|$ [nota]perché ho messo max?[/nota] non è sempre $f_n(b)-1$
Il max credo si a dovuto al fatto che studiamo la funzione in un insieme chiuso e limitato, che quindi ammetterà max...Dico bene?
Per quanto riguarda il calcolo...beh non so da dove iniziare (lo avevo detto che stavo messa male). Il punto è che non capisco perchè non è sempre $ f_n(b)-1 $
Avevo pensato (sbagliando a quanto sembra) che poteva essere dovuto al fatto che magari la funzione nell'intervallo non è sempre strettamente crescente, ma rileggendo tu mi dici che lo è, quindi non so a cos'altro può essere dovuto.
Mi aiuti?
Ps. Non so davvero come ringraziarti, sei davvero gentilissimo e preparatissimo!
Per quanto riguarda il calcolo...beh non so da dove iniziare (lo avevo detto che stavo messa male). Il punto è che non capisco perchè non è sempre $ f_n(b)-1 $
Avevo pensato (sbagliando a quanto sembra) che poteva essere dovuto al fatto che magari la funzione nell'intervallo non è sempre strettamente crescente, ma rileggendo tu mi dici che lo è, quindi non so a cos'altro può essere dovuto.
Mi aiuti?
Ps. Non so davvero come ringraziarti, sei davvero gentilissimo e preparatissimo!
Ho notato che se l'intervallo in cui calcolare il max è del tipo [a,1] il max viene 0 (sostituendo 1 nella funzione)
E quindi con il lim poi troviamo che in questo caso la funzione converge uniformementein [a,1]...è utile? (e soprattutto è fatto bene? hahaahahah)
E quindi con il lim poi troviamo che in questo caso la funzione converge uniformementein [a,1]...è utile? (e soprattutto è fatto bene? hahaahahah)
"Lala":
Il max credo si a dovuto al fatto che studiamo la funzione in un insieme chiuso e limitato, che quindi ammetterà max...Dico bene?
Si esatto $f_n(x)$ sono continue e quindi per Weierstrass ammettono ecc...
"Lala":
Per quanto riguarda il calcolo...beh non so da dove iniziare (lo avevo detto che stavo messa male). Il punto è che non capisco perchè non è sempre fn(b)−1
"Lala":
Ho notato che se l'intervallo in cui calcolare il max è del tipo [a,1] il max viene 0 (sostituendo 1 nella funzione)
E quindi con il lim poi troviamo che in questo caso la funzione converge uniformementein [a,1]...è utile? (e soprattutto è fatto bene? hahaahahah)
Ecco un esempio che mostra quello per cui ti dicevo di stare attenta...
La funzione $f_n$ è strettamente crescente in $[a,1]$ tuttavia $Max_{x \in [a,1]}|f_n(x)-1|$ non è in $x=1$ ma in $x=a$ perché c'è il modulo che rende positivo il segno, per esempio prendiamo $n=2$ e $x=1/2$ avremo che $1/\sqrt(2)-1<0$ ma in modulo sarà certamente maggiore
$|1/\sqrt(2)-1|>0$
Ho capito quello che dici, quindi l'importate è trovare il coefficiente più alto, perchè poi al segno ci pensa il valore assoluto.
Ma quello che mi chiedevo è se c'è un modo per capirla questa cosa, cioè un qualcosa che mi dica quale estremo dell'intervallo devo sostituire al valore assoluto. Bisogna semplicemente provare a sostituire? O c'è altro?
Ma quello che mi chiedevo è se c'è un modo per capirla questa cosa, cioè un qualcosa che mi dica quale estremo dell'intervallo devo sostituire al valore assoluto. Bisogna semplicemente provare a sostituire? O c'è altro?
Ah ora che ci penso, l'esercizio diceva anche di verificare il passaggio al lim sotto il segno di integrale tra [-1,1], quindi
$ lim_(n->+oo) int_(-1)^(1) f_n(x) dx=int_(-1)^(1) f(x) dx $
E per farlo bisogna solo verificare che la funzione converge uniformemente in $ x in [-1,1] $
E considerando che tra [a,1] avevamo che in x=1 il lim era 0, e quindi convergeva uniformrmente, allora lo farà anche tra [-1,1] e quindi il passaggio sarà verificato..giusto?
$ lim_(n->+oo) int_(-1)^(1) f_n(x) dx=int_(-1)^(1) f(x) dx $
E per farlo bisogna solo verificare che la funzione converge uniformemente in $ x in [-1,1] $
E considerando che tra [a,1] avevamo che in x=1 il lim era 0, e quindi convergeva uniformrmente, allora lo farà anche tra [-1,1] e quindi il passaggio sarà verificato..giusto?
"Lala":
Ma quello che mi chiedevo è se c'è un modo per capirla questa cosa, cioè un qualcosa che mi dica quale estremo dell'intervallo devo sostituire al valore assoluto. Bisogna semplicemente provare a sostituire? O c'è altro?
Cominciamo con il nostro caso.
Definiamo $g_n(x):=f_n(x)-f(x)$, $g_n:E \rightarrow RR$ ammettiamo continua[nota]Ho considerato le $f_n$ continue per semplicità[/nota].
Caso funzione strettamente crescente:
Negli intervalli $[a,b]$ in cui $g_n$ è positiva basta prendere il punto di ascissa $x=b$, quindi $g_n(b)$
Negli intervalli $[a,b]$ in cui è negativa il punto di ascissa $x=a$, quindi $g_n(a)$
Caso funzione strettamente decrescente:
Negli intervalli $[a,b]$ in cui $g_n$ è positiva basta prendere il punto di ascissa $x=a$, quindi $g_n(a)$
Negli intervalli $[a,b]$ in cui è negativa il punto di ascissa $x=b$, quindi $g_n(b)$
Caso funzione non monotona
Se la funzione $g_n$ è continua allora procedi con il calcolo dei massimi e minimo (se negativo) e vedi quale in valore assoluto è più grande.
"Lala":
Ah ora che ci penso, l'esercizio diceva anche di verificare il passaggio al lim sotto il segno di integrale tra [-1,1], quindi
$ lim_(n->+oo) int_(-1)^(1) f_n(x) dx=int_(-1)^(1) f(x) dx $
E per farlo bisogna solo verificare che la funzione converge uniformemente in $ x in [-1,1] $
E considerando che tra [a,1] avevamo che in x=1 il lim era 0, e quindi convergeva uniformrmente, allora lo farà anche tra [-1,1] e quindi il passaggio sarà verificato..giusto?
Ti basta svolgere l'integrale di $f={(1\ se\ ([-1,0)uu(0,1])),(0\ se\ x=0):}$ e viene 2 (basta che pensi a due quadrati di area 1), e l'altro integrale dovrebbe venire $-\frac{2}{n+1}$ che passando al limite viene 0, $0 !=2$
La convergenza uniforme è una condizione sufficiente ma non necessaria. Quindi se sai che $f_n$ convergono uniformemente in un certo intervallo $[a,b]$ allora il passaggio sotto segno integrale del limite è automatico, ma se non convergessero uniformemente non è detto che non si possa fare il passaggio.
In $[-1,1]$ non converge uniformemente.
Grazie mille per i vari casi, sono utilissimi!! Davvero 
Cmq c'è una cosa che non ho capito, quindi quando non sappiamo se convergono o no possiamo svolgere separatamente gli integrali e vedere se assumono lo stesso valore..che è quello che hai fatto tu. E mi trovo.
Solo non capisco, io ho svolto l'integrale della $f_n(x) $ e ho trovato che vale 2, poi ho svolto l'integrale della $f(x)$ cioè di $ root(n)((x)) - 1 $ e mi trovo con $-2/(n+1)$
Ma perchè passi al lim l'integrale della $f(x)$ se nella formula il lim sta all'integrale della $f_n(x)$ ?
Cmq c'è una cosa che non ho capito, quindi quando non sappiamo se convergono o no possiamo svolgere separatamente gli integrali e vedere se assumono lo stesso valore..che è quello che hai fatto tu. E mi trovo.
Solo non capisco, io ho svolto l'integrale della $f_n(x) $ e ho trovato che vale 2, poi ho svolto l'integrale della $f(x)$ cioè di $ root(n)((x)) - 1 $ e mi trovo con $-2/(n+1)$
Ma perchè passi al lim l'integrale della $f(x)$ se nella formula il lim sta all'integrale della $f_n(x)$ ?
"Lala":
Solo non capisco, io ho svolto l'integrale della fn(x) e ho trovato che vale 2, poi ho svolto l'integrale della f(x) cioè di $x^{1/n}-1$ e mi trovo −2n+1
$f_n(x)=\root[n]{|x|}$...attenta
"Lala":
Ma perchè passi al lim l'integrale della f(x) se nella formula il lim sta all'integrale della fn(x) ?
Leggi bene!
No,perdonami ma ora non riesco a seguirti..sarà il mal di testa 
vero è che non avevo svolto l'integrale con il valore assoluto, ma viene identico (fatto come
$ 2int_(0)^(1) root(n)((x))-1 dx $
Non capisco cosa dovevo leggere bene..
vero è che non avevo svolto l'integrale con il valore assoluto, ma viene identico (fatto come
$ 2int_(0)^(1) root(n)((x))-1 dx $
Non capisco cosa dovevo leggere bene..
La funzione $f_n(x)$ è uguale a $\root[n]{|x|}$ non a $\root[n]{|x|}-1$.
Viene lo stesso perché con il valore assoluto la funzione è pari e quindi integrare da -1 a 1 sarebbe come fare due volte l'integrale da 0 a 1.
Questo:
Dato che avevi detto...
Viene lo stesso perché con il valore assoluto la funzione è pari e quindi integrare da -1 a 1 sarebbe come fare due volte l'integrale da 0 a 1.
"Lala":
Non capisco cosa dovevo leggere bene..
Questo:
"dan95":
Ti basta svolgere l'integrale di $f={1\ se\ [−1,0)∪(0,1]),(0\ se\ x=0 ):}$ e viene 2 (basta che pensi a due quadrati di area 1), e l'altro integrale dovrebbe venire $\frac{−2}{n+1}$ che passando al limite viene 0, 0≠2
Dato che avevi detto...
"Lala":
Ma perchè passi al lim l'integrale della f(x) se nella formula il lim sta all'integrale della fn(x) ?
Nono c'è stato un malinteso.
so che $f_n(x) = root(n)(|x|)$ Ma a questo punto mi viene un dubbio..quando dici
a quali funzioni ti riferisci? Cioè l'integrale della f (che vale 1 o 0) viene 2, e ci troviamo, perchè io ho fatto proprio l'integrale dei valori che assume la funzione (cioè $ int_(-1)^(1) 1 dx $ ), non della funzione iniziale $f_n(x) = root(n)(x)$
E l'altro integrale da dove ti salta fuori? Io avevo svolto $f(x) = root(n)(x) -1 $ perciò era citata questa formula. Ma credo che tu non abbia fatto quest integrale. Cosa hai integrato per farti uscire $-2/(1+n)$ ?
so che $f_n(x) = root(n)(|x|)$ Ma a questo punto mi viene un dubbio..quando dici
"dan95":
Ti basta svolgere l'integrale di f={1 se ([−1,0)∪(0,1])0 se x=0 e viene 2 (basta che pensi a due quadrati di area 1), e l'altro integrale dovrebbe venire −2n+1 che passando al limite viene 0, 0≠2
a quali funzioni ti riferisci? Cioè l'integrale della f (che vale 1 o 0) viene 2, e ci troviamo, perchè io ho fatto proprio l'integrale dei valori che assume la funzione (cioè $ int_(-1)^(1) 1 dx $ ), non della funzione iniziale $f_n(x) = root(n)(x)$
E l'altro integrale da dove ti salta fuori? Io avevo svolto $f(x) = root(n)(x) -1 $ perciò era citata questa formula. Ma credo che tu non abbia fatto quest integrale. Cosa hai integrato per farti uscire $-2/(1+n)$ ?
$\int_{-1}^{1}f(x)dx=2\int_{0}^{1}1\cdot dx=2$
$\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{-1}^{1}f_n(x)dx=\int_{-1}^{1}\root[n]{|x|}dx=$ siccome la funzione è pari $=\lim 2\int_{0}^{1}\root[n]{x}dx=\lim_{n \rightarrow +\infty} -\frac{2}{n+1}=0$
$\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{-1}^{1}f_n(x)dx=\int_{-1}^{1}\root[n]{|x|}dx=$ siccome la funzione è pari $=\lim 2\int_{0}^{1}\root[n]{x}dx=\lim_{n \rightarrow +\infty} -\frac{2}{n+1}=0$
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