Analisi II

[icchia-votailprof]

Ciao a tutti, mi chiamo Laura sono una studentessa di Ingegneria Civile, sono nuova qui nel forum.
Spero di pubblicare i miei argomenti nei luoghi corretti, comunque andiamo al sodo...
qualche giorno fa mi sono imbattuta in questo esercizio:
l'insieme delle primitive della forma differenziale $(y/x^2 +1/y)dx-(1/x+x/y^2)dy$ definita nell'insieme x>0, y>0 è dato da?
sinceramente non ho la più pallida idea di come si svolga...
spero mi vogliate aiutare

[gugo82]

Sul libro di teoria dovrebbe essere spiegato come si ottengono le primitive di f.d.l. in un semplicemente connesso... L'hai letto quel paragrafo?
E che considerazioni hai fatto in merito?

[icchia-votailprof]

purtroppo sul mio Marcellini-Sbordone non ho trovato nulla a riguardo (o magari non sono stata capace di cercarlo)...motivo per cui ho pubblicato questo intervento

[Amartya]

Ciao, anche io uso il Marcellini Sbordone ma forse stai utilizzando il solo libro di teoria, perchè se hai anche il libro di esercitazioni volume 2 parte 2 (pag. 358) ti assicuro che quanto da te richiesto è spiegato molto bene.

Per quanto riguarda l'esercizio che hai postato si tratta di trovarne la primitiva.

A prima vista e senza fare i calcoli direi che la tua forma differenziale è esatta, per verificarlo devi verificare che la tua forma differenziale sia chiusa (sai che significa?) e che il sottoinsieme $A$ aperto di $R^n$ sia stellato (cioè preso un segmento qualsiasi tra $x$ e $x_0$ esso è tutto contenuto in $A$) rispetto ad un suo punto $x_0$.

Magari la tua forma differenziale è definita in $R^2$ quindi è stellato, ti potrebbe convenire partire verificando se la tua forma differenziale è chiusa. Se è chiusa in $R^2$ è anche esatta ed a quel punto hai più metodi di risoluzione.

[icchia-votailprof]

Grazie sei stato gentilissimo...
vediamo se riesco a capire

[Amartya]

"Icchietta":Grazie sei stato gentilissimo...
vediamo se riesco a capire

posta una tua eventuale soluzione, io lo risolvo per conto mio e poi confrontiamo.

[Amartya]

"Icchietta":Grazie sei stato gentilissimo...
vediamo se riesco a capire

Riprendo questo esercizio che ho risolto anche per esercitarmi un pò.

Allora la forma differenziale è esatta in $R^2$ infatti se consideriamo$f_x(x,y)= (y/x^2 +1/y)$ e derivando rispetto a $y$ otteniamo $(\partialf_x(x,y))/(\partialy)= 1/x^2-1/y^2$ lo stesso se, consideriamo $f_y(x,y)= -(1/x+x/y^2)$ e deriviamo rispetto a $x$, otteniamo $(\partial f_y(x,y))/(\partialx) = 1/x^2-1/y^2$

Quindi appurato che la forma è esatta possiamo trovarci la primitiva dell'intera forma differenziale partendo da uno solo dei due elementi da cui è costituita la forma, utilizzando un metodo particolare che prescinde da eventuali parametrizzazioni. Consideriamo $f_x(x,y) = (y/x^2 +1/y)$ ed integriamo rispetto a $x$ otteniamo $-y*x^-1 +y^-1*x$ se al risultato aggiungiamo una funzione in $y$ per esempio $g(y)$ questo non ha alcun impatto se consideriamo tutto rispetto a $x$ e quindi se deriviamo rispetto a $y$ l'argomento $-y*x^-1 +y^-1*x +g(y)$ otteniamo $-(1/x +x/y^2 +g'(y))$. Nel caso poniamo $g'(y) = 0$ (poichè si vede subito che la primitiva trovata se derivata sia rispetto a $x$ che rispetto a $y$ ci da i due argomenti) e quindi la primitiva della forma differenziale è $\omega = -y*x^-1 +y^-1*x$

[gugo82]

@emanuele78: Come fa la f.d.l. ad essere esatta in \(\mathbb{R}^2\) se non è nemmeno definita in tutto \(\mathbb{R}^2\)?

[Amartya]

"gugo82":@emanuele78: Come fa la f.d.l. ad essere esatta in \(\mathbb{R}^2\) se non è nemmeno definita in tutto \(\mathbb{R}^2\)?

hai ragione, non è definita in $R^2$ e quindi non è esatta. Potrei crearmi una restrizione del dominio in cui la funzione è sempre definita e quindi in quel dominio considerarla esatta?

Per esempio in $x>0, y>0$?

[icchia-votailprof]

è definita in x>0 e y>0