[Analisi I] Derivata agli estremi del dominio di una funzione

[singularity]

Salve a tutti, è il primo messaggio che mando sul forum, quindi spero di mandarlo secondo le modalità corrette.

Stavo svolgendo un esercizio di Analisi 1 (libro Pagani-Salsa, Analisi 1 appunto) di cui vi riporto il testo

Sia $ f : [a,b] rarr R. $ Supponiamo che $ x_o in [a,b] $ sia punto di estremo locale e che in $ x_o $ $ f $ sia derivabile (si intende che se $ x_o = a $ o $ x_o = b $ la derivabilità è solo dalla destra o dalla sinistra, rispettivamente).
Dimostrare che se $ x_o $ è punto di massimo allora $ f'(x_o)(x - x_o) <= 0 $ mentre se $ x_o $ è di minimo allora $ f'(x_o)(x - x_o) >= 0 $

Mio ragionamento:

Il teorema di Fermat ci assicura che per i punti estremanti interni al dominio $ f'(x_o) = 0 $ , quindi devo preoccuparmi solo dei punti agli estremi del dominio. Se, per esempio, $a$ fosse punto di massimo saprei che $(x - a) > 0 $ quindi mi resterebbe da dimostrare che $ f'(a) <= 0 $ , (estendendo questo ragionamento prendendo $a$ come minimo e fare lo stesso con $b$). Il fatto che, nel caso $a$ fosse massimo allora $f'(a)<=0$ è geometricamente intuitivo, ma non so come giustificarlo. Se nelle ipotesi del problema ci fosse stata la continuità della funzione, probabilmente applicando il teorema di Rolle ci sarei potuto arrivare facilmente, ma così non mi viene in mente ancora niente.

Grazie in anticipo

[Fioravante Patrone1]

"singularity":
...
Sia $ f : [a,b] rarr R. $ Supponiamo che $ x_o in [a,b] $ sia punto di estremo locale e che in $ x_o $ $ f $ sia derivabile (si intende che se $ x_o = a $ o $ x_o = b $ la derivabilità è solo dalla destra o dalla sinistra, rispettivamente).
Dimostrare che se $ x_o $ è punto di massimo allora $ f'(x_o)(x - x_o) <= 0 $ mentre se $ x_o $ è di minimo allora $ f'(x_o)(x - x_o) >= 0 $
...

La prima disequazione variazionale della tua vita!

1. la tesi non l'hai scritta in modo preciso. E' (vediamo solo il caso di min):
$ f'(x_0)(x - x_0) >= 0 $ PER OGNI $x \in [a,b]$

2. la dimostrazione viene facile rileggendo con attenzione e mente aperta la dim del teorema di Fermat.
Sia $x_0 \in [a,b]$ punto di min locale per $f$.
Allora esiste intorno $U$ di $x_0$ t.c. $f(x) \ge f(x_0)$ per ogni $x \in U$.
Quindi, se prendo $x>x_0$ e divido per $x-x_0$, avrò:
$\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \ge 0$ per ogni $x \in U$, con $x > x_0$.
Visto che f è per hp derivabile, se faccio il limite per $x -> x_0$ (da destra...) trovo:
$f'(x_0) \ge 0$.
Se $x_0 = a$, ovvio che se moltiplico per $f'(x_0)$ per $x-x_0$ (quanlunque sia $x \in [a,b]$, ottengo (prodotto di due quantità non negative):
$ f'(x_0)(x - x_0) >= 0 $ PER OGNI $x \in [a,b]$
Se $x_0$ è un punto interno, hai già detto tu.
Se è l'estremo destro $b$, mi sa che non è il caso di scrivere cosa succede.

3. ti "fa strano" la tesi, e anche la modalità di dimostrazione (mi riferisco alla stupidaggine di moltiplicare per $x-x_0$)? Ti capisco, sembra un modo un po' scemo di procedere. Però serve, questa "formulazione variazionale", giuro!

[singularity]

Ti ringrazio, sei stato molto chiaro e disponibile.

Non conoscevo le disequazioni variazionali (sembrano interessanti), inoltre fa comodo sapere il segno della derivata agli estremi del dominio di una funzione, che siano anche massimi o minimi.

Grazie ancora