[Analisi] Funzioni e Classi

[LipschitzianaMente]

Se $f(x)inC^1([a,b]) => f'(x)inC^0([a,b])$? Oppure l'implicazione non vale, e sono irrelazionate? Cioè l'una può sussistere indipendentemente dall'altra?
Vi pongo la mia domanda in quanto in alcuni teoremi ho che la f. è di classe C1 con derivata continua. Se fosse vera la mia domanda, allora basterebbe dire che f appartiene a C1.

Grazie, Luca

[Lord K]

Ti chiedo questo, cosa significa essere di classe $C^n([a,b])$???

[LipschitzianaMente]

(CREDO, NON SOLO) derivabile n volte, beh volevo un chiarimento proprio circa il significato di ciò.

[alle.fabbri]

"LipschitzianaMente":in alcuni teoremi ho che la f. è di classe C1 con derivata continua. Se fosse vera la mia domanda, allora basterebbe dire che f appartiene a C1.

esatto..basta dire che è di classe $C^1$. In effetti dire che $f in C^n(I)$ significa dire che tutte le derivate di $f$ fino all'ordine n (incluso) sono continue nell'intervallo I. Anche se a mio avviso, ma è soltanto una opinione, è persino ridondante come definizione perchè se tu assumi che la derivata n-esima di $f$ sia continua allora il teorema fondamentale del calcolo integrale ti dice che $ \frac{d^{n-1} f}{d x^{n-1}} $ è continua, e così via fino a $f$....
Casomai ti potesse servire ti dico che spesso nei libri si fa riferimento a funzioni dette smooth (lisce) che di regola sono le $f in C^{\infty}(I)$ cioè con derivata continua per ogni n; può succedere che in alcuni contesti si faccia un uso un po' aggettivato del termine e lo si usi in senso traslato anche per riferirsi a funzioni di classe $C^1$ che, avendo derivata continua, non mostrano salti o cuspidi nel loro profilo....e quindi lisce....saluti

[LipschitzianaMente]

Grande alle.fabbri! Risposta perfetta.
Se posso aiutarti in qualcosa non esitare a chiedere, anche se sono sicuro che sarà molto rara la cosa.

[Lord K]

Significa che è derivabile $n$ volte e che la sua derivata $n$-esima è continua. La tua congettura è dunque corretta.