Analisi funzionale, alcuni dubbi di base di un ingegnere.
Salve ragazzi, siccome mi interessa per motivi vari, la teoria degli operatori ho iniziato a studiare un pò di analisi funzionale per avere una formazione un pò più rigorosa. Premessa che ho seguito qualche anno fa un corso di fisica matematica quindi non mi trovo spiazzato con i concetti, ma mi trovo un pò spiazzato con le dimostrazioni che mi riesce difficile a capire.
Inoltre utilizzo un libro (il brezis) che mi sembra scritto abbastanza bene, ma da alcune cose secondo me per scontato.
Primo dubbio riguarda la dimostrazione del lemma di Baire.
Il lemma di Baire dice che
Dato uno spazio metrico completo $X$ e una successioni di sottinsiemi chiusi $X_n \in X$ tale che l'unione di tutti questi mi dia $X$ allora esiste un $n_0$ tale che $Int(X_{n_0}) \neq 0$ (insieme vuoto vorrei indicare).
Ora la dimostrazione procede in questo modo (nei primi passi).
1. Si definisce $O_n$ come il complementare di $X_n$, in modo che $O_n$ sia un aperto denso in $X$.
2. Detto $G$ l'intersezione di tutti gli $O_n$ è sufficiente dimostrare che $G$ sia denso in $X$.
In entrambi i casi ho citato quanto dice il libro in questione.
Ora non capisco una cosa, ma il complementare di un insieme chiuso è un aperto denso? se è si perchè...(per insieme denso intendo la definizione topologica, cioè un insieme $A$ è denso in $X$ se la chiusura di $A$ mi da $X$).
2. Perchè per dimostrare la tesi del teorema basta dire che $G$ è denso in X?
Grazie
Inoltre utilizzo un libro (il brezis) che mi sembra scritto abbastanza bene, ma da alcune cose secondo me per scontato.
Primo dubbio riguarda la dimostrazione del lemma di Baire.
Il lemma di Baire dice che
Dato uno spazio metrico completo $X$ e una successioni di sottinsiemi chiusi $X_n \in X$ tale che l'unione di tutti questi mi dia $X$ allora esiste un $n_0$ tale che $Int(X_{n_0}) \neq 0$ (insieme vuoto vorrei indicare).
Ora la dimostrazione procede in questo modo (nei primi passi).
1. Si definisce $O_n$ come il complementare di $X_n$, in modo che $O_n$ sia un aperto denso in $X$.
2. Detto $G$ l'intersezione di tutti gli $O_n$ è sufficiente dimostrare che $G$ sia denso in $X$.
In entrambi i casi ho citato quanto dice il libro in questione.
Ora non capisco una cosa, ma il complementare di un insieme chiuso è un aperto denso? se è si perchè...(per insieme denso intendo la definizione topologica, cioè un insieme $A$ è denso in $X$ se la chiusura di $A$ mi da $X$).
2. Perchè per dimostrare la tesi del teorema basta dire che $G$ è denso in X?
Grazie
Risposte
Il fatto che $O_n$ sia denso in $X$ deriva dal fatto che è il complementare di un chiuso che ha interno vuoto (un insieme la cui chiusura ha interno vuoto si dice nowhere-dense). In sostanza il fatto che il complementare di $O_n$ non contenga palle ti garantisce che tutti i punti di $X$ sono approssimabili con successioni di punti di $O_n$. Prova a dimostrarlo formalmente.
Se dimostri che $G = \bigcap_n O_n$ è denso in $X$, allora $X \setminus G = \bigcup_n X_n$ ha interno vuoto (stesso discorso di prima), che è la tesi del Lemma di Baire.
Se dimostri che $G = \bigcap_n O_n$ è denso in $X$, allora $X \setminus G = \bigcup_n X_n$ ha interno vuoto (stesso discorso di prima), che è la tesi del Lemma di Baire.
In sostanza il fatto che il complementare di $O_n$ non contenga palle ti garantisce che tutti i punti di $X$ sono approssimabili con successioni di punti di $O_n$. Prova a dimostrarlo formalmente.
A naso proverei così... distinguerei due casi.
1) $x \in O_n$, $O_n$ è aperto, allora posso costruirmi una successione di bolle $B(x,r_n)$, dove $r_n = \frac{r_{n-1}}{2}$, e per ogni bolla prendo un $y_n = x + z r_{n}$, dove $z \in B(0,1)$, (questa costruzione penso di poterla fare in quanto $X$ è spazio metrico completo), e siccome $x$ è arbitrario in $O_n \subset X$ segue che $y_n \rightarrow x$.
2) $x \in \bar{O_n} - O_n$, quindi $x$ è punto di accumulazione per $O_n$, di conseguenza posso fare la stessa costruzione fatta in precedenza.
segue la tesi, secondo me, assumendo abbia dimostrato correttamente, ci sarà un altro modo per dimostrare questa cosa più semplice.
La tua discussione, Seneca, è stata chiara, ma mi rimane un dubbio...
Il Teorema di baire il libro di testo che uso lo espone in due modi, equivalenti.
Il primo è il seguente:
1) Sia $X$ uno spazio metrico completo e sia $(X_n)_{n \geq 1}$ una succesione di sottoinsiemi chiusi di $X$ tale che $Int X_n = 0$ per ogni $n \geq 1$ allora $Int ( \bigcup_{n=1}^\infty X_n ) = 0$.
2) Sia $X$ uno spazio metrico completo non vuoto. Sia $(X_n)_{n \geq 1}$ una sequenza di insiemi chiusi tali che $\bigcup_{n=1}^\infty X_n = X$ allora esiste un intero $n_0$ tale che $Int X_{n_0} \ne 0$
Perchè i due enunciati sono equivalenti?
Se mi aiutate a capire questo punto la dimostrazioen dovrebbe risultarmi chiara.
Rispondo al primo messaggio senza aver letto attentamente il seguito (mi scuso...).
Direi che Brezis fa un ragionamento per assurdo, dicendo: "supponiamo che la tesi non sia vera, allora tutti gli $X_n$ hanno parte interna vuota, e quindi i loro complementari sono densi". (In generale non è assolutamente vero che il complementare di un chiuso è denso - aperto sì, ma denso ...). Se dimostro che l'intersezione dei complementari è ancora densa, in particolare tale intersezione non è vuota e quindi ho trovato un assurdo. Infatti se l'unione degli $X_n$ è tutto $X$, allora il suo complementare è vuoto e questo complementare è proprio l'intersezione detta prima.
Hope it helps
Direi che Brezis fa un ragionamento per assurdo, dicendo: "supponiamo che la tesi non sia vera, allora tutti gli $X_n$ hanno parte interna vuota, e quindi i loro complementari sono densi". (In generale non è assolutamente vero che il complementare di un chiuso è denso - aperto sì, ma denso ...). Se dimostro che l'intersezione dei complementari è ancora densa, in particolare tale intersezione non è vuota e quindi ho trovato un assurdo. Infatti se l'unione degli $X_n$ è tutto $X$, allora il suo complementare è vuoto e questo complementare è proprio l'intersezione detta prima.
Hope it helps
"lukkio":
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Il Teorema di baire il libro di testo che uso lo espone in due modi, equivalenti.
Il primo è il seguente:
1) Sia $X$ uno spazio metrico completo e sia $(X_n)_{n \geq 1}$ una succesione di sottoinsiemi chiusi di $X$ tale che $Int X_n = 0$ per ogni $n \geq 1$ allora $Int ( \bigcup_{n=1}^\infty X_n ) = 0$.
2) Sia $X$ uno spazio metrico completo non vuoto. Sia $(X_n)_{n \geq 1}$ una sequenza di insiemi chiusi tali che $\bigcup_{n=1}^\infty X_n = X$ allora esiste un intero $n_0$ tale che $Int X_{n_0} \ne 0$
Perchè i due enunciati sono equivalenti?
Se mi aiutate a capire questo punto la dimostrazioen dovrebbe risultarmi chiara.
(1) $\Rightarrow$ (2).
Siano $X_n$ tali che $\bigcup_n X_n=X$. Se tutti gli $X_n$ avessero parte interna vuota, allora per (1) anche $X$ avrebbe parte interna vuota, ma questo è manifestamente falso dato che la parte interna di $X$ coincide con $X$.
(2) $\Rightarrow$ (1).
Siano $X_n$ con parte interna vuota e per assurdo supponiamo che $\bigcup_{n=1}^\infty X_n$ contenga una palla $B=B(x_0,r)$, che possiamo supporre chiusa. Notiamo che $B$ è uno spazio metrico completo con la metrica indotta da $X$. Poniamo$B_n:=X_n\cap B$: non è difficile verificare che $B_n$ sono chiusi con parte interna vuota in $B$, ma
$\bigcup_{n=1}^\infty B_n=B$. Questo è in contrasto con la (2) (applicata a $(B_n)$ dentro $B$).
Goblin, potresti formulare le ipotesi e le tesi di ciò che stai dimostrando?
Sono un pò confuso.
ti ringrazio comunque.
Sono un pò confuso.
ti ringrazio comunque.
Purtroppo fra poco devo staccare.
Comunque, nel secondo messaggio, volevo dimostrare che le affermazioni (1) e (2) sono equivalenti, dove (1) e (2) sono le due proprietà (quelle che hai scritto tu) con cui si esprime il teorema di Baire. Cosa non ti torna ?
Hai comunque capito il primo messaggio?
Comunque, nel secondo messaggio, volevo dimostrare che le affermazioni (1) e (2) sono equivalenti, dove (1) e (2) sono le due proprietà (quelle che hai scritto tu) con cui si esprime il teorema di Baire. Cosa non ti torna ?
Hai comunque capito il primo messaggio?
Si si è chiara l'idea di quel messaggio.
è anche chiaro che volevi dimostrare che le affermazioni 1) e 2) sono equivalenti.
Siccome 1) e 2) sono dei teoremi (quindi con ipotesi e tesi) non mi è chiaro come hai formulato l'ipotesi e la tesi della tua proposizione.
Non so se sono chiaro, anche se capisco che può sembrarti una banalità.
Cioè tu vuoi dimostrare che... data una successioni di chiusi con interno vuoto allora puoi trovare una succesione di chiusi con interno non vuoto tale che?
La tua proposizione come andrebbe formulata?
(Nel mentre cmq mi sto rileggendo il tuo messaggio con la tua dimostrazione).
è anche chiaro che volevi dimostrare che le affermazioni 1) e 2) sono equivalenti.
Siccome 1) e 2) sono dei teoremi (quindi con ipotesi e tesi) non mi è chiaro come hai formulato l'ipotesi e la tesi della tua proposizione.
Non so se sono chiaro, anche se capisco che può sembrarti una banalità.
Cioè tu vuoi dimostrare che... data una successioni di chiusi con interno vuoto allora puoi trovare una succesione di chiusi con interno non vuoto tale che?
La tua proposizione come andrebbe formulata?
(Nel mentre cmq mi sto rileggendo il tuo messaggio con la tua dimostrazione).
In realtà (so che può sembrare strano, dato la presenza del "se ... allora") (1) e (2) non sono dei teoremi, ma delle proprietà, almeno agli effetti dell'equivalenza di cui parlavo. Quando dimostro che
(1) se e solo se (2)
non dimostro né (1) né (2). Poi, una volta dimostrata l'equivalenza, dimostro o (1) o (2), a seconda dei gusti (e allora ho dei teoremi).
Purtroppo devo andare - casomai se ne riparla il pomeriggio.
(1) se e solo se (2)
non dimostro né (1) né (2). Poi, una volta dimostrata l'equivalenza, dimostro o (1) o (2), a seconda dei gusti (e allora ho dei teoremi).
Purtroppo devo andare - casomai se ne riparla il pomeriggio.
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