Analisi estremi di funzioni a due variabili ad hessiano nullo
Salve ragazzi, volevo chiedere il vostro aiuto su una funzione dove devo classificare i vari punti estremi.
In particolare sto avendo problemi a classificare il punto (0,0).
La funzione è la seguente:
$ f(x)=x^4+y^4-2(x^2+y^2)+4xy $
Ho trovato i punti estremi che sarebbero $(-sqrt(2),sqrt(2));(sqrt(2),-sqrt(2));(0,0)$
Nel punto (0,0) mi trovo un determinante Hessiano nullo e usando le canoniche restizioni sulle rette (y=0, x=0 e y=x) mi ritrovo che è sempre un minimo non potendo di fatto dire nulla sul punto.
Cosa potrei fare per riuscirlo a classificare ?
Vi ringrazio in anticipo.
In particolare sto avendo problemi a classificare il punto (0,0).
La funzione è la seguente:
$ f(x)=x^4+y^4-2(x^2+y^2)+4xy $
Ho trovato i punti estremi che sarebbero $(-sqrt(2),sqrt(2));(sqrt(2),-sqrt(2));(0,0)$
Nel punto (0,0) mi trovo un determinante Hessiano nullo e usando le canoniche restizioni sulle rette (y=0, x=0 e y=x) mi ritrovo che è sempre un minimo non potendo di fatto dire nulla sul punto.
Cosa potrei fare per riuscirlo a classificare ?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Bisogna giocare un po' d'astuzia e riscrivere la funzione come:
$ f(x, y)=x^4+y^4-2(x-y)^2 $
Se ti poni su $x=-y$ ha che la funzione riesce ad andare in negativo (e' facile dimotrarlo).
Invece su $x = y$ la funzione diventa $f(x) = 2x^4 $ che va subito in positivo.
Quindi e' un punto di sella.
$ f(x, y)=x^4+y^4-2(x-y)^2 $
Se ti poni su $x=-y$ ha che la funzione riesce ad andare in negativo (e' facile dimotrarlo).
Invece su $x = y$ la funzione diventa $f(x) = 2x^4 $ che va subito in positivo.
Quindi e' un punto di sella.
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"sellacollesella":
[quote="Simpronic"]usando le canoniche restrizioni sulle rette (y=0, x=0 e y=x) mi ritrovo che è sempre un minimo
No, nelle prime due è un massimo, nella terza un minimo.[/quote]
Vero hai ragione, piccola sbadataggine mia, rifacendo i calcoli hai ragione.
La confusione è nata anche da come la mia prof ha scritto nelle sue slides, in particolare scrive che 0,0 non è ne di massimo ne di minimo e fa un ragionamento su degli intorni
Con il metodo del segno come lo fareste ?
Ciao Simpronic,
Studiando il segno della funzione variazione $\Delta f(x, y) := f(x, y) - f(x_0, y_0) $ con l'espressione di $f(x, y) $ che ti ha già scritto Quinzio e $x_0 = 0 $, $y_0 = 0 $, sicché nel caso in esame si ha:
$ Delta f(x, y) -= f(x, y) = x^4+y^4-2(x-y)^2 $
Si vede subito che sulla retta $y = x $ (bisettrice del I e del III quadrante) $ Delta f(x, y) = 2x^4 \ge 0 $, mentre sulla retta $y = - x $ (bisettrice del II e del IV quadrante) si avrebbe $ Delta f(x, y) = 2x^4 - 8x^2 = 2x^2(x^2 - 4) $ ed il secondo fattore fra parentesi tonde diventa negativo se $|x| < 2 $ (mentre il primo fattore è un quadrato per cui è sempre positivo, nullo solo per $x = 0 $).
"Simpronic":
Con il metodo del segno come lo fareste ?
Studiando il segno della funzione variazione $\Delta f(x, y) := f(x, y) - f(x_0, y_0) $ con l'espressione di $f(x, y) $ che ti ha già scritto Quinzio e $x_0 = 0 $, $y_0 = 0 $, sicché nel caso in esame si ha:
$ Delta f(x, y) -= f(x, y) = x^4+y^4-2(x-y)^2 $
Si vede subito che sulla retta $y = x $ (bisettrice del I e del III quadrante) $ Delta f(x, y) = 2x^4 \ge 0 $, mentre sulla retta $y = - x $ (bisettrice del II e del IV quadrante) si avrebbe $ Delta f(x, y) = 2x^4 - 8x^2 = 2x^2(x^2 - 4) $ ed il secondo fattore fra parentesi tonde diventa negativo se $|x| < 2 $ (mentre il primo fattore è un quadrato per cui è sempre positivo, nullo solo per $x = 0 $).
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