Analisi due....due esercizi

[Sk_Anonymous]

Data la serie di funzioni:

$Sigma_(k=1)^infty(nx)/sqrt(1+n^6x^2)$

i) determinare il suo insieme di convergenza semplice $X$;
ii) provare che converge uniformemente in ogni intervallo del tipo $[-a,a]$ con $a>0$.

Determinare i punti di estremo relativo della funzione:

$f(x,y)=x-y^2$

sotto il vincolo $x^2+y^2+27x=0$

[_Tipper]

"Ainéias":Determinare i punti di estremo relativo della funzione:

$f(x,y)=x-y^2$

sotto il vincolo $x^2+y^2+27x=0$

Basta sostituire $-y^2 = x^2 + 27x$ e si ottiene una funzione in una variabile, che ha un solo punto di minimo.

[fabry1985mi]

"Ainéias":Data la serie di funzioni:

$Sigma_(k=1)^infty(nx)/sqrt(1+n^6x^2)$

i) determinare il suo insieme di convergenza semplice $X$;
ii) provare che converge uniformemente in ogni intervallo del tipo $[-a,a]$ con $a>0$.

Per quanto riguarda il punto numero 1 si può procedere così:
$(nx)/sqrt(1+n^6x^2)~(nx)/sqrt(n^6x^2)=(nx)/(|x|n^3)=(sgn(x))/n^2$ per $n->+infty$
dove con $sgn(x)$ intendo la funzione signum di x; dunque la serie converge puntualmente in tutto $mathbb{R}$ per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata di esponte $2>1$
Per quanto invece concerne il punto 2 basta osservare che:
posto $f_n(x)=(nx)/sqrt(1+n^6x^2) Rightarrow f_n^{\prime}(x)=(nsqrt(1+n^6x^2)-nxfrac{2n^6x}{2sqrt(1+n^6x^2)})/(1+n^6x^2)=(nsqrt(1+n^6x^2)-frac{n^7x^2}{sqrt(1+n^6x^2)})/(1+n^6x^2)=(n(1+n^6x^2) -n^7x^2)/((1+n^6x^2)sqrt(1+n^6x^2))=n/((1+n^6x^2)sqrt(1+n^6x^2))>=0 forall x in mathbb{R}$
dunque abbiamo una successione di funzioni tutte crescenti: quindi
$Sup_{x in [-a,a]}(nx)/sqrt(1+n^6x^2)=(na)/sqrt(1+n^6a^2)~(na)/sqrt(n^6a^2)=(na)/(n^3a)=1/n^2$ per $n->+infty$
cioè la serie converge uniformemente (ancora per confronto con la serie armonica generalizzata di esponte 2>1) in $[-a,a] forall a>0$