Analisi, disuguaglianze

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Buongiorno, come potrei dimostrare che:

$|ln((b^3+1)/(a^3+1)) |<=4^(1/3 ) |b-a|$

Per ogni $a,b \in [0,2]$

[spugna2]

Ponendo $f(x)=ln(x^3+1)$, la disuguaglianza da dimostrare diventa

$|f(b)-f(a)|<=root[3](4) |b-a|$

Sappiamo che

$|f(b)-f(a)|=|int_a^b f'(x)dx|<=int_a^b |f'(x)|dx <= M*|b-a|$

dove $M$ è il valore massimo di $|f'(x)|$ nell'intervallo $[0,2]$. Se fai i conti ti dovrebbe venire proprio $M=root[3](4)$.

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poni $ b=x^3+1$?

[pilloeffe]

Ciao Smon97,

"Smon97":poni $b=x^3+1$?

Se $f(x) $ è quella che ti ha già scritto spugna (che saluto) $f(b) = ln(b^3 + 1) $; d'altronde $f(a) = ln(a^3 + 1) $, quindi

$ |ln((b^3+1)/(a^3+1))| = |ln(b^3 + 1) - ln(a^3 + 1)| = |f(b) - f(a)| $

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"spugna": Se fai i conti ti dovrebbe venire proprio $M=root[3](4)$.

Non ho capito che conti?

[pilloeffe]

"Smon97":Non ho capito che conti?

Scusa Smon97, se $f(x) = ln(x^3 + 1) \implies f'(x) = (3x^2)/(x^3 + 1) $: come si fa a calcolare il massimo di $f'(x) $?

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Ho fatto $f''(x)=0$
Ma viene radice cubica di 2 e non di 4

[pilloeffe]

"Smon97":Ho fatto $f''(x) = 0 $
Ma viene radice cubica di 2 e non di 4

Quella che ti interessa è l'ordinata, non l'ascissa: si trova che il massimo è nel punto $M(x_M, y_M) $, ove $x_M = root[3]{2} $ e $y_M = root[3]{2^2} = root[3]{4} $

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perfetto grazie