Analisi di una funzione implicita con dati iniziali
Ciao a tutti,
ho questo problema sulla funzione implicita che mi crea problemi:
Sia \(\displaystyle f: R^{2}\rightarrow R \) di classe \(\displaystyle C^{2} \). f(x,y)=0 definisce una funzione implicita y(x) in un intorno di x=0 tale che \(\displaystyle y(0)=0 \) e \(\displaystyle {y}'(0)=0 \).
Sapendo che \(\displaystyle \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} y}(0,0)=-\frac{1}{2} \) e che \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2y(x)-x^2}{x^2}=2 \)
calcolare \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0) \)
Guardando la condizione sul limite deduco che la y(x) debba essere \(\displaystyle \frac{3}{2}x^2 \) per avere limite pari a due, però una volta arrivato qui non riesco a trovare una funzione che rispetta anche la condizione sulla derivata parziale rispetto a y....
Sicuramente c'è qualcosa nel teorema del dini che mi sfugge
Grazie a chi mi aiuterà
ho questo problema sulla funzione implicita che mi crea problemi:
Sia \(\displaystyle f: R^{2}\rightarrow R \) di classe \(\displaystyle C^{2} \). f(x,y)=0 definisce una funzione implicita y(x) in un intorno di x=0 tale che \(\displaystyle y(0)=0 \) e \(\displaystyle {y}'(0)=0 \).
Sapendo che \(\displaystyle \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} y}(0,0)=-\frac{1}{2} \) e che \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2y(x)-x^2}{x^2}=2 \)
calcolare \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0) \)
Guardando la condizione sul limite deduco che la y(x) debba essere \(\displaystyle \frac{3}{2}x^2 \) per avere limite pari a due, però una volta arrivato qui non riesco a trovare una funzione che rispetta anche la condizione sulla derivata parziale rispetto a y....
Sicuramente c'è qualcosa nel teorema del dini che mi sfugge
Grazie a chi mi aiuterà
Risposte
Se può essere utile le scelte possibili sono:
a) \(\displaystyle \frac{3}{2} \) b) \(\displaystyle \frac{1}{2} \) c) \(\displaystyle -\frac{1}{2} \) d) 2
a) \(\displaystyle \frac{3}{2} \) b) \(\displaystyle \frac{1}{2} \) c) \(\displaystyle -\frac{1}{2} \) d) 2
UP !!!
Non so più a chi chiedereeee
Non so più a chi chiedereeee
Up!!!
Non credo sia impossibile da risolvere o almeno provarci....
Magari con un consiglio mi viene un'illuminazione
Non credo sia impossibile da risolvere o almeno provarci....
Magari con un consiglio mi viene un'illuminazione
Forse ho una soluzione:
Come tu dici, la funzione implicita risulta essere $3/2x^2$, quindi la derivata risulta essere $3x$. Ma dal Teorema di Dini abbiamo che:
$ y'(x_0)=-((delf)/(delx)(x_0,y_0))/((delf)/(dely)(x_0,y_0))=>(delf)/(delx)(x_0,y_0)=-3x((delf)/(dely)(x_0,y_0)) $
Deriviamo membro a membro:
$ (del)/(delx)((delf)/(delx)(x_0,y_0))=-3((delf)/(dely)(x_0,y_0))-3x((delf)/(delxdely)(x_0,y_0)) $
Sostituiamo ora i valori che abbiamo per $(delf)/(dely)(x_0,y_0)$ e per $x$ calcolato in $x_0$:
$ (del)/(delx)((delf)/(delx)(x_0,y_0))=-3(-1/2)=3/2 $
(In questo calcolo ho scritto $(x_0,y_0)$ mantenendomi più generale, ma qui potresti scrivere già da subito $(0,0)$)
Come tu dici, la funzione implicita risulta essere $3/2x^2$, quindi la derivata risulta essere $3x$. Ma dal Teorema di Dini abbiamo che:
$ y'(x_0)=-((delf)/(delx)(x_0,y_0))/((delf)/(dely)(x_0,y_0))=>(delf)/(delx)(x_0,y_0)=-3x((delf)/(dely)(x_0,y_0)) $
Deriviamo membro a membro:
$ (del)/(delx)((delf)/(delx)(x_0,y_0))=-3((delf)/(dely)(x_0,y_0))-3x((delf)/(delxdely)(x_0,y_0)) $
Sostituiamo ora i valori che abbiamo per $(delf)/(dely)(x_0,y_0)$ e per $x$ calcolato in $x_0$:
$ (del)/(delx)((delf)/(delx)(x_0,y_0))=-3(-1/2)=3/2 $
(In questo calcolo ho scritto $(x_0,y_0)$ mantenendomi più generale, ma qui potresti scrivere già da subito $(0,0)$)
A me sembra corretta come soluzione, mi sfuggiva l'ulteriore derivata rispetto a x
Mi fido di te
Grazie mille !!!
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