Analisi di una funzione a due variabili
Salve, ho questa funzione
$f(x,y)=(x-3)^2+x(y^2-4)$
mi chiede di trovare i punti stazionari e fin qui ci siamo non ho problemi.
Mi chiede anche però di determinare l'immagine di tale funzione relativamente al dominio
$D=[0,6] \times [-2,2]$
e qui brancolo nel buio...spero possiate darmi una imbeccata.
p.s. tra i due intorni mi viene la x come se fosse una incognita e invece dovrebbe essere la x di "per" però non riesco a scriverla cosi.
[mod="Fioravante Patrone"]Ho modificato, usando "\times", così viene il simbolo del prodotto cartesiano.[/mod]
$f(x,y)=(x-3)^2+x(y^2-4)$
mi chiede di trovare i punti stazionari e fin qui ci siamo non ho problemi.
Mi chiede anche però di determinare l'immagine di tale funzione relativamente al dominio
$D=[0,6] \times [-2,2]$
e qui brancolo nel buio...spero possiate darmi una imbeccata.
p.s. tra i due intorni mi viene la x come se fosse una incognita e invece dovrebbe essere la x di "per" però non riesco a scriverla cosi.
[mod="Fioravante Patrone"]Ho modificato, usando "\times", così viene il simbolo del prodotto cartesiano.[/mod]
Risposte
Grazie a Weierstrass la tua funzione su D sia max M che min m globali.
Te li trovi, dopodiché l'immagine è [m,M]. Perché? Per il teorema dei valori intermedi, visto che la funzione è definita su un connesso.
Te li trovi, dopodiché l'immagine è [m,M]. Perché? Per il teorema dei valori intermedi, visto che la funzione è definita su un connesso.
grazie per la risposta, è la prima volta che vedo un dominio scritto in quel modo e quindi non riesco ad interpretarlo, in pratica significa che al $x$ è compresa in $[0,6]$ e la $y$ in $[-2,2]$ ???
Ho cercato sul libro ma non trovo esempi simili.
Inoltre massimi e minimi io li trovo con la matrice hessiana quindi devo considerare quelli che ho trovato prima? Scusa ho un pò di confusione
Ho cercato sul libro ma non trovo esempi simili.
Inoltre massimi e minimi io li trovo con la matrice hessiana quindi devo considerare quelli che ho trovato prima? Scusa ho un pò di confusione
"white05":
grazie per la risposta, è la prima volta che vedo un dominio scritto in quel modo e quindi non riesco ad interpretarlo, in pratica significa che al $x$ è compresa in $[0,6]$ e la $y$ in $[-2,2]$ ???
Sì, è il prodotto cartesiano di due intervalli.
"white05":
Ho cercato sul libro ma non trovo esempi simili.
Inoltre massimi e minimi io li trovo con la matrice hessiana quindi devo considerare quelli che ho trovato prima? Scusa ho un pò di confusione
In sintesi, fai così:
- trovi i punti che annullano il gradiente della funzione, interni a D
- trovi i punti che annullano la derivata prima della funzione di una variabile che ottieni restringendo la tua f a ciascuno dei 4 lati del rettangolo
- prendi in considerazione i 4 vertici
I punti di min e di max globale sono fra questi.
Tutto ciò deriva dalle condizioni necessarie del primo ordine. E' tempo sprecato considerare la matrice hessiana in un caso come questo (e in casi simili, dove si è interessati ai max/min globali).
no purtroppo mi sa che non riesco a capire...
vista la prima parte dell'esercizio richiede di classificare i punti stazionari, ho usato la matrice hessiana come richiede la mia prof e mi trovo i seguenti punti (se i calcoli sono esatti):
$(0,-sqrt(10))$ punto di sella
$(0,sqrt(10))$ punto di sella
$(5,0)$ punto di minimo
quindi l'unico punto compreso nel dominio indicato nella seconda parte dell'esercizio a questo punto sarebbe
$(5,0)$ che è un punto di minimo....poi non so come fare ciò che dici e non riesco a trovarne la spiegazione
vista la prima parte dell'esercizio richiede di classificare i punti stazionari, ho usato la matrice hessiana come richiede la mia prof e mi trovo i seguenti punti (se i calcoli sono esatti):
$(0,-sqrt(10))$ punto di sella
$(0,sqrt(10))$ punto di sella
$(5,0)$ punto di minimo
quindi l'unico punto compreso nel dominio indicato nella seconda parte dell'esercizio a questo punto sarebbe
$(5,0)$ che è un punto di minimo....poi non so come fare ciò che dici e non riesco a trovarne la spiegazione
Hai fatto il rpimo punto indicato da Fioravante : calcola quanto vale la funzione in $(5,0)$ e per il momento accantonalo.
Adesso devi fare il secondo punto , cioè valutare la funzione sui bordi del rettangolo , inizia ad es. dal bordo superiore , quindi $y=2$ sostituiscilo nella funzione che diventa di una sola variabile e vedi dove ha max e min e quanto valgono
idem per gli altri 3 lati del rettangolo
e poi valuta anche quanto vale la funzione nei 4 vertici del rettangolo e poi compara tutti i valori ottenuti..
Adesso devi fare il secondo punto , cioè valutare la funzione sui bordi del rettangolo , inizia ad es. dal bordo superiore , quindi $y=2$ sostituiscilo nella funzione che diventa di una sola variabile e vedi dove ha max e min e quanto valgono
idem per gli altri 3 lati del rettangolo
e poi valuta anche quanto vale la funzione nei 4 vertici del rettangolo e poi compara tutti i valori ottenuti..
allora vediamo se ho capito:
per $y=2$ e per $y=-2$ ottengo lo stesso risultato e cioè un punto $(3,0)$ di minimo e il valore della funzione in questo punto è $f(3,0)=-12$
poi per $x=0$ ottengo $z=9$ quindi la derivata prima sarebbe sempre uguale a zero...da questo cosa posso dedurre, cioè quando è sempre nulla da derivata prima???
poi per $x=6$ ottengo $z=6y^2-15$ la derivata prima diventa $12y$ e quindi ho un punto $(0,0)$ di minimo e la funzione in questo punto vale $f(0,0)=9$
calcoliamo il valore della funzione nel punto di minimo che ho trovato prima con la matrice hessiana ed è
$f(5,0) = -16$
poi nei vertici:
$f(0,2)=f(0,-2)=9$
$f(6,2)=f(6,-2)=4$
quindi ricapitolando l'immagine dovrebbe essere l'intervallo $[-16,9]$????
spero di aver capito!
per $y=2$ e per $y=-2$ ottengo lo stesso risultato e cioè un punto $(3,0)$ di minimo e il valore della funzione in questo punto è $f(3,0)=-12$
poi per $x=0$ ottengo $z=9$ quindi la derivata prima sarebbe sempre uguale a zero...da questo cosa posso dedurre, cioè quando è sempre nulla da derivata prima???
poi per $x=6$ ottengo $z=6y^2-15$ la derivata prima diventa $12y$ e quindi ho un punto $(0,0)$ di minimo e la funzione in questo punto vale $f(0,0)=9$
calcoliamo il valore della funzione nel punto di minimo che ho trovato prima con la matrice hessiana ed è
$f(5,0) = -16$
poi nei vertici:
$f(0,2)=f(0,-2)=9$
$f(6,2)=f(6,-2)=4$
quindi ricapitolando l'immagine dovrebbe essere l'intervallo $[-16,9]$????
spero di aver capito!
Riassumendo:
* $y=+-2,x=3;f(3,+-2)=0 $
*$x=0 ; f(0,y)=9 =M$
*$x=6,y=0 ;f(6,0)=-15$
*$ f(5,0)= -16 = m.
Nei vertici :
*$f(0,2)=f(0,-2)=9 $
*$f(6,2)=f(6,-2)=9 $.
L'immagine della funzione $f(x,y)$ nel dominio $D$ è l'intervallo $[-16,9]$.
* $y=+-2,x=3;f(3,+-2)=0 $
*$x=0 ; f(0,y)=9 =M$
*$x=6,y=0 ;f(6,0)=-15$
*$ f(5,0)= -16 = m.
Nei vertici :
*$f(0,2)=f(0,-2)=9 $
*$f(6,2)=f(6,-2)=9 $.
L'immagine della funzione $f(x,y)$ nel dominio $D$ è l'intervallo $[-16,9]$.
Ecco il grafico
grazie, senti e come mai quel -12 che viene a me tu non lo consideri e non lo calcoli???
Inoltre quando una funzione ha derivata prima sempre nulla cosa possiamo dedurre?
Grazie ancora
Inoltre quando una funzione ha derivata prima sempre nulla cosa possiamo dedurre?
Grazie ancora
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