Analisi di una funzione
Ragazzi datemi una mano qui per favore.
Data questa funzione:
$f(x) = |2-log_2(|x|-4)|$
Devo determinare il campo di esistenza in primis; non ho idea di come fare, per cui più che la soluzione mi ci vorrebbe una sintesi che mi metta almeno sulla buona strada se possibile.
Poi dovrei fare il grafico, il problema é che non ho idea di come calcolare i valori di un $log_2 -4$ ad esempio.. credo si vada sul campo dei numeri complessi. (ma sicuramente sono ignorante io ^^)
grazie mille in anticipo.. buon sabato sera ^^
Data questa funzione:
$f(x) = |2-log_2(|x|-4)|$
Devo determinare il campo di esistenza in primis; non ho idea di come fare, per cui più che la soluzione mi ci vorrebbe una sintesi che mi metta almeno sulla buona strada se possibile.
Poi dovrei fare il grafico, il problema é che non ho idea di come calcolare i valori di un $log_2 -4$ ad esempio.. credo si vada sul campo dei numeri complessi. (ma sicuramente sono ignorante io ^^)
grazie mille in anticipo.. buon sabato sera ^^
Risposte
campo di esistenza. Come si trova? mettendo a sistema tutte le condizioni di esistenza delle funzioni elementari che compongono f(x)
f(x) è una funzione che è data come una serie di funzioni composte "innestate".
Questa funzioni, dalla più esterna alla più interna sono: modulo, somma algebrica (differenza nello specifico), log, somma algebrica, modulo
Praticamente è come se avessi questa composizione:
il modulo della differenza tra 2 e il logaritmo della differenza.....
modulo{differenza[2; logaritmo(differenza(modulo(x);4)]}
Spero che hai capito che ho voluto fare. Vediamo le condizioni da mettere a sistema.
Dovremmo pertanto imporre:
una condizione sul modulo esterno
una condizione sulla differenza
una sul logaritmo (che poi è una condizione sul suo argomento)
una sull'operazione di differenza
una sul modulo di x
Il modulo, quello più esterno, esiste per ogni valore del suo argomento (v. dopo, lo spiego meglio)... il problema qui è che l'argomento del modulo (quindi ora immagina che non ci sia più il modulo) non esiste per ogni x. Vediamo perché...
Sull'operazione di differenza tra 2 e log non dobbiamo imporre nessuna condizone, è sempre possibile (cioè se prendo due numeri reali e ne faccio la differenza ottengo ancora un reale), il fatto è che uno dei 2 termini della differenza cioè il logaritmo, invece, non è sempre possibile (non è sempre un numero reale e noi dobbiamo imporre la consdizione per cui risulta essere un numero reale), ma esiste solo se il suo argomento è positivo. Quindi $|X|-4>0$, su $|X|$ non impongo condizioni perché qualunque valore reale di x scelgo posso sempre farne il modulo (se prendo un n reale e ne faccio il modulo ottengo ancora un numero reale). Differentemente, ripeto, per il logaritmo, per cui se prendo una x<0, ad esempio -3, non ne posso calcolare il log. log-4 impossibile!
Concludendo hai una sola condizione da imporre
f(x) è una funzione che è data come una serie di funzioni composte "innestate".
Questa funzioni, dalla più esterna alla più interna sono: modulo, somma algebrica (differenza nello specifico), log, somma algebrica, modulo
Praticamente è come se avessi questa composizione:
il modulo della differenza tra 2 e il logaritmo della differenza.....
modulo{differenza[2; logaritmo(differenza(modulo(x);4)]}
Spero che hai capito che ho voluto fare. Vediamo le condizioni da mettere a sistema.
Dovremmo pertanto imporre:
una condizione sul modulo esterno
una condizione sulla differenza
una sul logaritmo (che poi è una condizione sul suo argomento)
una sull'operazione di differenza
una sul modulo di x
Il modulo, quello più esterno, esiste per ogni valore del suo argomento (v. dopo, lo spiego meglio)... il problema qui è che l'argomento del modulo (quindi ora immagina che non ci sia più il modulo) non esiste per ogni x. Vediamo perché...
Sull'operazione di differenza tra 2 e log non dobbiamo imporre nessuna condizone, è sempre possibile (cioè se prendo due numeri reali e ne faccio la differenza ottengo ancora un reale), il fatto è che uno dei 2 termini della differenza cioè il logaritmo, invece, non è sempre possibile (non è sempre un numero reale e noi dobbiamo imporre la consdizione per cui risulta essere un numero reale), ma esiste solo se il suo argomento è positivo. Quindi $|X|-4>0$, su $|X|$ non impongo condizioni perché qualunque valore reale di x scelgo posso sempre farne il modulo (se prendo un n reale e ne faccio il modulo ottengo ancora un numero reale). Differentemente, ripeto, per il logaritmo, per cui se prendo una x<0, ad esempio -3, non ne posso calcolare il log. log-4 impossibile!
Concludendo hai una sola condizione da imporre
ho aggiunto qualcosa.
Mi è sorto un dubbio... ma devi lavorare in $RR$ o in $CC$?
Cioè f(x) è una funzione di variabile reale (x è reale)?
Mi è sorto un dubbio... ma devi lavorare in $RR$ o in $CC$?
Cioè f(x) è una funzione di variabile reale (x è reale)?
Si X è reale.
Ho seguito bene il tuo ragionamento anche se mi mancano un paio di passaggi (credo perché non possiedo alcune basi della terminologia)
Cosa intendi per "modulo" e "fare il modulo"?
Ho seguito bene il tuo ragionamento anche se mi mancano un paio di passaggi (credo perché non possiedo alcune basi della terminologia)
Cosa intendi per "modulo" e "fare il modulo"?
"Argos86":
Si X è reale.
Ho seguito bene il tuo ragionamento anche se mi mancano un paio di passaggi (credo perché non possiedo alcune basi della terminologia)
Cosa intendi per "modulo" e "fare il modulo"?
il modulo è il valore assoluto questo -> |x|.
Fare il modulo significa che se ho $-7$ e ne faccio il modulo (o ne "prendo il valore assoluto") ho praticamente $ |-7|=7$
Infatti, grazie al modulo, se:
$|x|-4>0$
Significa che:
$|x|>4$
e studiando i due casi (quello per cui x è positivo, quindi il modulo non "lavora"....e quello per cui x è negativo, quindi il modulo "lavora") ottieni:
$x>4$
$-x>4$
che, prese assieme, ti danno le condizioni di esistenza della funzione:
$x>4$
$x<-4$
cioè, in $x in[-4,4]$ la funzione non esiste!!
$|x|-4>0$
Significa che:
$|x|>4$
e studiando i due casi (quello per cui x è positivo, quindi il modulo non "lavora"....e quello per cui x è negativo, quindi il modulo "lavora") ottieni:
$x>4$
$-x>4$
che, prese assieme, ti danno le condizioni di esistenza della funzione:
$x>4$
$x<-4$
cioè, in $x in[-4,4]$ la funzione non esiste!!
Ora pensa a com'è fatta la funzione $logy$...questa:
- tende a $-oo$ quando $y to 0$;
- vale $0$ quando $y=1$
- tende a $oo$ quando $x to oo$
- tende a $-oo$ quando $y to 0$;
- vale $0$ quando $y=1$
- tende a $oo$ quando $x to oo$
Azz...ho sbagliato a schiacciare al posto di anteprima 
Cmq, sapendo che tu hai gli asintoti verticali (che è la retta verticale a cui la funzione si avvicina senza mai toccarla) in $x=4$ e $x=-4$ (questo perchè il tuo $y$ è $|x|-4$), e notando anche che hai un logaritmo negativo...ma dentro il modulo (quindi con risultato sempre positivo) deduci che la tua funzione $f(x) to oo$ quando $x to 4$ e quando $x to -4$.
A questo punto sappiamo che la funzione $f(x)=-log(|x|-4)$ è una specie di vulcano fujiama
simmetrico rispetto all'asse delle $y$, e col cratere alto $oo$ e largo 8 (cioè da -4 a 4).
Siccome hai $2-log(|x|-4)$, significa che a quello di prima sommi 2, e il tutto verra alzato di 2!
Ora, sai anche che l'ultimo risultato è in modulo...questo significa che tutta la parte negativa di quel grafico, sarà in realtà speculare rispetto all'asse delle $x$, cioè dovrai ricopiarla simmetrica nei valori positivi! Quindi lo scopo è trovare i valori di $x$ in cui $2-log(|x|-4)$ vale zero, e all'esterno di questi ricopiare la curva (che sarebbe negativa) in positiva!
$2-log(|x|-4)$ vale 0 in due punti a causa del modulo nel logaritmo, ma questi hanno la comodità di essere simmetrici rispetto all'asse $y$ (come detto prima, tutta la funzione è simmetrica). Quindi basta trovarne uno dei 2:
$2-log(x-4)=0$
$log(x-4)=2$
$x-4=2^2$
$x=4+2^2=8$
e l'altro sarà uguale ma negativo...$x=-4-2^2=-8$
Quindi, in definitiva, il grafico finale sarà sto vulcano che scende da $oo$ sulle due linee verticali $x=4$ e $x=-4$...incrocia l'asse in $x=8$ e $x=-8$...e da quel punto c'è uno spigolo in cui torna ad andare su...ma molto più lentamente rispetto a quando veniva giù (perchè è un logaritmo).
Ti farei vedere un grafico di exel, ma non so come metterlo quì
Spero di esser stato utile, ma soprattutto chiaro...cmq, per fare studi di funzione devi avere idea dei comportamenti delle funzioni base. Così sei molto facilitato...ciau!
Cmq, sapendo che tu hai gli asintoti verticali (che è la retta verticale a cui la funzione si avvicina senza mai toccarla) in $x=4$ e $x=-4$ (questo perchè il tuo $y$ è $|x|-4$), e notando anche che hai un logaritmo negativo...ma dentro il modulo (quindi con risultato sempre positivo) deduci che la tua funzione $f(x) to oo$ quando $x to 4$ e quando $x to -4$.
A questo punto sappiamo che la funzione $f(x)=-log(|x|-4)$ è una specie di vulcano fujiama
simmetrico rispetto all'asse delle $y$, e col cratere alto $oo$ e largo 8 (cioè da -4 a 4).Siccome hai $2-log(|x|-4)$, significa che a quello di prima sommi 2, e il tutto verra alzato di 2!
Ora, sai anche che l'ultimo risultato è in modulo...questo significa che tutta la parte negativa di quel grafico, sarà in realtà speculare rispetto all'asse delle $x$, cioè dovrai ricopiarla simmetrica nei valori positivi! Quindi lo scopo è trovare i valori di $x$ in cui $2-log(|x|-4)$ vale zero, e all'esterno di questi ricopiare la curva (che sarebbe negativa) in positiva!
$2-log(|x|-4)$ vale 0 in due punti a causa del modulo nel logaritmo, ma questi hanno la comodità di essere simmetrici rispetto all'asse $y$ (come detto prima, tutta la funzione è simmetrica). Quindi basta trovarne uno dei 2:
$2-log(x-4)=0$
$log(x-4)=2$
$x-4=2^2$
$x=4+2^2=8$
e l'altro sarà uguale ma negativo...$x=-4-2^2=-8$
Quindi, in definitiva, il grafico finale sarà sto vulcano che scende da $oo$ sulle due linee verticali $x=4$ e $x=-4$...incrocia l'asse in $x=8$ e $x=-8$...e da quel punto c'è uno spigolo in cui torna ad andare su...ma molto più lentamente rispetto a quando veniva giù (perchè è un logaritmo).
Ti farei vedere un grafico di exel, ma non so come metterlo quì
Spero di esser stato utile, ma soprattutto chiaro...cmq, per fare studi di funzione devi avere idea dei comportamenti delle funzioni base. Così sei molto facilitato...ciau!
Allora, se ho capito tutto viene una cosa di questo tipo(perdonami la poca simmetria ^^):
Avrei anche un altro paio di cose da chiederti se questa torna. fammi sapere.
Avrei anche un altro paio di cose da chiederti se questa torna. fammi sapere.
"Argos86":
Allora, se ho capito tutto viene una cosa di questo tipo(perdonami la poca simmetria ^^):
Avrei anche un altro paio di cose da chiederti se questa torna. fammi sapere.
Quello che hai disegnato fin ora va bene, ma manca una specie di U che collega i 2 pezzi. Quindi come ha detto Pizza effettivamente la funzione sembra un vulcano.
Cmq se hai altri dubbi chiedi pure...
Ecco questo passaggio della "U" che collega le due curve non l'ho compreso.
A -4 e 4 non tende a ∞?
A -4 e 4 non tende a ∞?
"Argos86":
Ecco questo passaggio della "U" che collega le due curve non l'ho compreso.
A -4 e 4 non tende a ∞?
Hai ragione!
Lascia stare la U, perché come diceva anche Pizza in x∈[-4,4] la funzione non esiste!! Non so perché il pc prende anche quei valori
Anche a me con derive mi veniva una U a dire il vero, però non capivo il motivo.
La seconda cosa che volevo chiedervi è sugli insiemi, scusate l'ot ma si fa prima che ad aprire un altro topic no?
dato questo insieme:
$[x in R$ | $ x^4(x-1)^2(2x-1)^6 <= 0$
primo... il fatto che sia <= 0 mi cambia qualcosa nel determinare i punti interni/aderenza etc. ?
io l'ho risolto così:
i punti interni sono ]0,+∞[
i punti di aderenza e accumulazione sono [0, +∞]
l'estremo inferiore è 0
l'estremo superiore non c'è (essendo infinito)
volevo chiedervi se è giusto come l'ho risolto.
p.s. grazie 1000 per la funzione non sapevo più dove sbattere la testa.
La seconda cosa che volevo chiedervi è sugli insiemi, scusate l'ot ma si fa prima che ad aprire un altro topic no?
dato questo insieme:
$[x in R$ | $ x^4(x-1)^2(2x-1)^6 <= 0$
primo... il fatto che sia <= 0 mi cambia qualcosa nel determinare i punti interni/aderenza etc. ?
io l'ho risolto così:
i punti interni sono ]0,+∞[
i punti di aderenza e accumulazione sono [0, +∞]
l'estremo inferiore è 0
l'estremo superiore non c'è (essendo infinito)
volevo chiedervi se è giusto come l'ho risolto.
p.s. grazie 1000 per la funzione non sapevo più dove sbattere la testa.
"Argos86":
La seconda cosa che volevo chiedervi è sugli insiemi, scusate l'ot ma si fa prima che ad aprire un altro topic no?
Aprire un altro topic è quasi immediato e poi aprendo un nuovo topic per un altro argometno hai più visibilità. Perché, in genere, quando gli altri utenti vedono che una domanda ha già 6-7 risposte non la guardano nemmeno, in quanto dopo 6-7 risposte il problema viene risolto, se non è complesso. Ma tu fai come ti trovi meglio
"Argos86":
dato questo insieme:
$[x in R$ | $ x^4(x-1)^2(2x-1)^6 <= 0$
primo... il fatto che sia <= 0 mi cambia qualcosa nel determinare i punti interni/aderenza etc. ?
Il fatto che vi sia $<=$ ti comporta che gli estremi dell'insieme (in qusto caso l'estremo inferiore) risulta essere chiuso e non aperto. Devi fare attenzione agli estremi.
"Argos86":
io l'ho risolto così:
i punti interni sono ]0,+∞[
perché 0 lo hai escluso? é l'estremo inferiore ma è compreso, è interno all'insieme. Non sarebbe stato compreso se ad esempio avevi solo $<$ e non $<=$
"Argos86":ok. Giusto una imperfezione. L'insieme discreto di elementi, cioè quando vuoi riportare un insieme di oggetti e vuoi enumerarli si usano le graffe, ${0, oo}$, Altrimenti con le quadre significa da $0$ a $+oo$
i punti di aderenza e accumulazione sono [0, +∞]
"Argos86":ok
l'estremo inferiore è 0
"Argos86":ok. Si dice anche che l'estemo superiore è $+oo$
l'estremo superiore non c'è (essendo infinito)
Ok grazie mille ^^ ho un altro problema ma apro un altro topic.
Grazie siete stati utilissimi e gentilissimi.
Grazie siete stati utilissimi e gentilissimi.
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