Analisi di un punto rispetto a un insieme

[Marcomix1]

Dati $P=(0,1)$ e $omega=((x,y)$appartenente a $R^2: x$ appartiene all'intervallo $[-1,1]$ e $y$ è $x stabilire cos'è il punto rispetto all'insieme.
Le risposte sono:
a) P non appartiene all'insieme ed è esterno ad essa
b) l'insieme è vuoto
c) P non appartiene all'insieme ed è punto di frontiera
d) P è interno all'insieme.

Ora io ho ragionato così:
P=(0,1) per cui x=0 e può stare benissimo nell'intervallo tra [-1,1].
P=(0,1) per cui y=1 e vediamo che 0<1
Ho ragionato bene?
Però diciamo ho dedotto riguardo il punto di frontiera, ma non ho dedotto al fatto che il punto non appartiene all'insieme; devo forse vedere che è un insieme chiuso? come lo vedo?

Aiuto.

[Palliit]

Ciao. A me sembra che se rappresenti graficamente l'insieme $omega$ e quardi dov'è il punto $P$ la risposta diventi ovvia.

[gio73]

Ciao Pallit, ho fatto come dici tu e mi viene che il punto non appartiene all'insieme, ma è un punto di frontiera; il motivo è che la disuguaglianza $x

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[Palliit]

Ciao gio73, è esattamente quello che intendevo.

[Marcomix1]

Ma come ho fatto io va bene??

[Marcomix1]

ho un altro esercizio:
xy=1
com'è questo insieme? aperto, chiuso, ne aperto ne chiuso, limitata.
so che è una iperbole, ma come faccio a sapere com'è l'insieme??

[gio73]

Ciao Marcomix,
come rappresenteresti l'insieme? i soli punti che appartengono all'iperbole?

[Marcomix1]

mm. l'insieme formato dai punti lungo la curva.

[gio73]

Sono d'accordo con te: i punti del nostro insieme sono quelli che appartengono alla curva perchè c'è il segno $=$ invece che $>$ o $<$, a questo punto non ti resta che usare le definizioni e la risposta vien fuori da sè.

[Marcomix1]

è un insieme chiuso? nel senso che può esistere un punto di frontiera e punto di accumulazione?

[gio73]

mmm... sulle caratteristiche topologiche ho già toppato... la definizione che ho a disposizione dice che un isieme è chiuso se il suo complementare è aperto, la definizione di aperto dice che per qualsiasi punto P appartenente all'insieme esiste un disco S, di centro P e raggio $epsilon$ tutto contenuto nell'insieme. A mio avviso il complementare è aperto, di conseguenza il nostro insieme è chiuso, ma è meglio se ci rifletti bene anche tu.

[Marcomix1]

si mi torna il ragionamento!