[Analisi di Fourier] Teorema di Lagrange Help!
Qualcuno mi potrebbe dare qualche informazione in più su $x_+$ e $x_-$?
Vengono usati nei miei appunti per dimostrare che la serie di Fourier converge.
Ad esempio dice, per Lagrange:
$\frac{f(x+h)-f(x_+)}{h}=f^{\prime}(x+\xi)$ con $\xi\in(0,h)$. Ma a me questa ultima affermazione sembra falsa, proprio perché per quello che ho capito $x_+\ne x$. Sbaglio nel non sapere cos'è $x_+$, oppure nel contesto della serie di Fourier devo far finta di niente perché sto guardando solo da una parte della funzione. Help!
Vengono usati nei miei appunti per dimostrare che la serie di Fourier converge.
Ad esempio dice, per Lagrange:
$\frac{f(x+h)-f(x_+)}{h}=f^{\prime}(x+\xi)$ con $\xi\in(0,h)$. Ma a me questa ultima affermazione sembra falsa, proprio perché per quello che ho capito $x_+\ne x$. Sbaglio nel non sapere cos'è $x_+$, oppure nel contesto della serie di Fourier devo far finta di niente perché sto guardando solo da una parte della funzione. Help!
Risposte
"gurghet":
Qualcuno mi potrebbe dare qualche informazione in più su $x_+$ e $x_-$?
Vengono usati nei miei appunti per dimostrare che la serie di Fourier converge.
Ad esempio dice, per Lagrange:
$\frac{f(x+h)-f(x_+)}{h}=f^{\prime}(x+\xi)$ con $\xi\in(0,h)$. Ma a me questa ultima affermazione sembra falsa, proprio perché per quello che ho capito $x_+\ne x$. Sbaglio nel non sapere cos'è $x_+$, oppure nel contesto della serie di Fourier devo far finta di niente perché sto guardando solo da una parte della funzione. Help!
$x^+$ e $x^-$ sono di solito dei simboli usati per indicare i limiti da destra e da sinistra. E' invalso anche (talvolta) l'uso di scrivere
$f(x^+)=\lim_{x'\to x^+ }f(x')$ e $f(x^-)=\lim_{x'\to x^- }f(x')$
Pero' $x^+$ e $x^-$ - da soli - non hanno un gran significato. L'uguaglianza che scrivi sopra e' una conseguenza del teorema di Lagrange nell'intervallo $[x,x+h]$ ($h>0$)
dove in $x$ il valore di $f$ e' definito mediante il limite destro - $f(x^+)$ per l'appunto - in modo che la funzione cosi' ottenuta e' continua in $[x,x+h]$ e derivabile in
$]x,x+h[$ (per poter applicare Lagrange). Quando si ragiona a sinistra, cioe' in $[x-h,x]$ , si usera' $f(x^-)$ come valore in $x$.
quindi se ho capito quello che mi dici, $f(x^{+} +h)$, ad esempio non ha senso come scrittura?
"gurghet":
quindi se ho capito quello che mi dici, $f(x^{+} +h)$, ad esempio non ha senso come scrittura?
secondo me no e infatti nel passo che riportavi non e' utilizzata. Poi a rigore "non ha senso" neanche $f(x^+)$ (conosco fieri
oppositori di questa scrittura), ma e' espressivo - basta capire cosa si vuole intendere.
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