Analisi di Fourier e equazione delle onde
Salve! Volevo sapere, se io ho l'equazione delel onte $\partial_t^2\psi=c^2\partial_x^2\psi$ so che le soluzioni generali sono del tipo $f(x+ct)+g(x-ct)$. Ora, tra i fisici si usa dire "nei casi di interesse fisico è sempre possibile utilizzare la trasfomrata di fourier per scomporre la funzione in onde del tipo $e^{i\omega(x/c\mp t)}$.
Ora, ciò come si fa però? perchè io avrei una trasformata di fourier in una variabile ($\omega$) che però è ha evoluzione determinata da due variabili, x e t. E ho due possibili casi per il tempo, cioè quella +ct e quella -ct.
Qualcuno mi può illustrare come si applica la analisi di Fourier a questo caso?
E se sono in 2 o 3 dimensioni spaziali? Cioè se ho al posto della derivata seconda spaziale un laplaciano? Lì non so proprio dove partire. Potreste spiegarmi anche questo?
Se avete anche una dispensina da indicarmi su questo argomento ne sarei grato.
Grazie.
Ora, ciò come si fa però? perchè io avrei una trasformata di fourier in una variabile ($\omega$) che però è ha evoluzione determinata da due variabili, x e t. E ho due possibili casi per il tempo, cioè quella +ct e quella -ct.
Qualcuno mi può illustrare come si applica la analisi di Fourier a questo caso?
E se sono in 2 o 3 dimensioni spaziali? Cioè se ho al posto della derivata seconda spaziale un laplaciano? Lì non so proprio dove partire. Potreste spiegarmi anche questo?
Se avete anche una dispensina da indicarmi su questo argomento ne sarei grato.
Grazie.
Risposte
Quello che usi è la trasformata di Fourier "parziale", cioè fatta solo rispetto al tempo. La definizione è la stessa fatta per la trasformata di Fourier classica, con la differenza che consideri la variabile $t$ come un parametro. La trasformata di una funzione $u(x,t)$ diventa allora una funzione $\hat{u}(\omega,t)$, dipendente dalla variabile duale $\omega$ e ancora dalla $t$. Ricordando la nota proprietà [tex]$\mathcal{F}(f^{(n)})=(-i\omega)^n\hat{f}$[/tex] che lega la derivata di una funzione alla sua trasformata, ottieni [tex]$\mathcal{F}(\partial_x^2 \Psi)=-\omega^2\hat{\Psi}$[/tex]. Inoltre, come puoi renderti conto da solo, visto che la variabile $t$ non rientra nel processo di "trasformazione" risulta abbastanza immediato dimostrare che [tex]$\mathcal{F}(\partial_t^2 \Psi)=\partial_t^2 \hat{\Psi}$[/tex], e cioè che la trasformata di una derivata rispetto al tempo, restituisce la derivata della trasformata. Per cui l'equazione delle onde diventa
[tex]$\partial_t^2 \hat{\Psi}(\omega,t)=-c^2\omega^2\hat{\Psi}(\omega,t)$[/tex]
Ora, se ci fai caso, questa equazione in realtà è una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine a coefficienti costanti, in quanto la variabile $\omega$ può essere pensata come un parametro. Prova un po' a risolverla e vedi cosa ottieni.
[tex]$\partial_t^2 \hat{\Psi}(\omega,t)=-c^2\omega^2\hat{\Psi}(\omega,t)$[/tex]
Ora, se ci fai caso, questa equazione in realtà è una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine a coefficienti costanti, in quanto la variabile $\omega$ può essere pensata come un parametro. Prova un po' a risolverla e vedi cosa ottieni.
Ciao grazie per rispondermi!
Dunque, ottengo $\hat \psi (\omega,t)=C_1e^{i\omega ct}+C_2e^{-i\omega ct}$...Ora quindi le due costanti le trovo sfruttando quello che conosco della soluzione?
Dunque, ottengo $\hat \psi (\omega,t)=C_1e^{i\omega ct}+C_2e^{-i\omega ct}$...Ora quindi le due costanti le trovo sfruttando quello che conosco della soluzione?
Attento: le costanti devono dipendere da $\omega$ in generale, in quanto esso è un parametro che, per risolvere l'equazione differenziale come hai fatto, hai "virtualmente" supposto costante. Ergo, per ogni $\omega$ fissato hai dei valori delle costanti, che, quindi, dipendono dal valore di $\omega$. A questo punto dovresti antitrasformare la soluzione e quello che trovi, magicamente, sono proprio le due funzioni onda progressiva e onda regressiva.
Certo certo, infatti io intendevo proprio quello quando parlavo della soluzione e le sue condizioni iniziali, come ad esempio la sua trasformata all'istante t=0...Nel caso multidimensionale è lo stesso discorso? Ci ho provato mi sembra di sì ma vorrei la tua conferma...
Guarda, in generale se hai [tex]$u=u(x_1,\ldots,x_n,t)$[/tex] dove in generale [tex]$x_i\in\mathbb{R},\ i=1,\ldots,n,\ t>0$[/tex] puoi definire la trasformata di Fourier parziale come
[tex]$\mathcal{F}(\xi_1,\lodts,\xi_n,t)=\int_{\mathbb{R}^n} u(x_1,\ldots,x_n,t)\ e^{i\langle x,\xi\rangle}\ dx$[/tex]
con ovvie notazioni. Quindi come vedi la situazione è sostanzialmente la stessa.
P.S.: ovviamente qui andrebbero fatti tutta una serie di discorsi sulla corretta definizione, sulle proprietà, su quali funzioni tu possa trasformare e via discorrendo. Poiché mi pare che a te serva più che altro una "spiegazione pratica" di cosa si sta facendo, salto tali concetti. Ma se vuoi, sono disponibilissimo a metterti giù un paio di fatti fondamentali.
[tex]$\mathcal{F}(\xi_1,\lodts,\xi_n,t)=\int_{\mathbb{R}^n} u(x_1,\ldots,x_n,t)\ e^{i\langle x,\xi\rangle}\ dx$[/tex]
con ovvie notazioni. Quindi come vedi la situazione è sostanzialmente la stessa.
P.S.: ovviamente qui andrebbero fatti tutta una serie di discorsi sulla corretta definizione, sulle proprietà, su quali funzioni tu possa trasformare e via discorrendo. Poiché mi pare che a te serva più che altro una "spiegazione pratica" di cosa si sta facendo, salto tali concetti. Ma se vuoi, sono disponibilissimo a metterti giù un paio di fatti fondamentali.
Guarda se me li dici e mi indichi magari anche un .pdf dove ne parla mi fai un favore, perchè ho scoperto che nel programma del corso di metodi mat per la fisica 2 sta roba non c'è!
Comunque io pensavo che le condizioni fossero sempre le stesse per la trasformata normale, cioè il discorso di L1, poi si estende a L2, poi alle distribuzioni temperate..Cambia qualcosa la presenza del parametro t?
Comunque io pensavo che le condizioni fossero sempre le stesse per la trasformata normale, cioè il discorso di L1, poi si estende a L2, poi alle distribuzioni temperate..Cambia qualcosa la presenza del parametro t?
No, non cambia assolutamente niente. Ti ripeto, praticamente ci puoi fare la stessa teoria delle trasformate di Fourier classiche tenendo solo in conto che la variabile $t$ si comporta come un parametro.
@antani: Un riferimento che a me piace, semplice e leggibile, è Fourier Analysis - An Introduction di Stein e Shakarchi. E' un bel libretto. Si parla dell'equazione delle onde nel sesto capitolo.
Ora che ci penso...si può fare anche il contrario giusto? cioè utilizzare una trasformata parziale col tempo? perchè l'avevo visto fare per ricavare l'equazione eiconale...
Mmmm... se trasformi rispetto al tempo, credo che usi la trasformata di Laplace. Dici che viene usata per l'equazione Eiconal? Ora guardo.
allora
L'equazione delle onde scrivendo le soluzioni come $\psi(x, t)=1/(2\pi)\int_mathbb{R} \hat \psi(x, \omega)e^(-i\omega t)$ è:
$\nabla^2 \hat \psi (\omega,x)=-1/(c^2)\omega^2 \hat \psi (x,\omega) $
Ora cerco soluzioni del tipo $\hat \psi (omega,x) = e^(i\omega/cW(x,y,z))$ dove $W(x,y,z)$posta uguale a una costante è l'equazione del fronte d'onda.
Ottengo:
$(i\omega)/(c) \nabla^2 W(x,y,z) e^(i\omega/cW(x,y,z)) -(\omega^2)/(c^2)|nabla W(x,y,z)|^2e^(i\omega/cW(x,y,z))=-1/(c^2)\omega^2 e^(i\omega/cW(x,y,z))$
Ovvero dividendo per $( e^(i\omega/cW(x,y,z)))/(\omega^2) $
$i/(\omega c) \nabla^2 W(x,y,z)- 1/(c^2)|nabla W(x,y,z)|^2=-1/(c^2)$
e facendo il $lim_{\omega->+oo}$:
$|nabla W(x,y,z)|^2=1$
c, la velocità di fase,può in generale dipendere dalla frequenza stessa (e si parla allora di relazione di dispersione)
doveva essere così se non ricordo male...Ma credo che si possa fare anche come hai detto tu nello spazio dei vettori k: infatti alta frequenza significa piccole lunghezze d'onda
L'equazione delle onde scrivendo le soluzioni come $\psi(x, t)=1/(2\pi)\int_mathbb{R} \hat \psi(x, \omega)e^(-i\omega t)$ è:
$\nabla^2 \hat \psi (\omega,x)=-1/(c^2)\omega^2 \hat \psi (x,\omega) $
Ora cerco soluzioni del tipo $\hat \psi (omega,x) = e^(i\omega/cW(x,y,z))$ dove $W(x,y,z)$posta uguale a una costante è l'equazione del fronte d'onda.
Ottengo:
$(i\omega)/(c) \nabla^2 W(x,y,z) e^(i\omega/cW(x,y,z)) -(\omega^2)/(c^2)|nabla W(x,y,z)|^2e^(i\omega/cW(x,y,z))=-1/(c^2)\omega^2 e^(i\omega/cW(x,y,z))$
Ovvero dividendo per $( e^(i\omega/cW(x,y,z)))/(\omega^2) $
$i/(\omega c) \nabla^2 W(x,y,z)- 1/(c^2)|nabla W(x,y,z)|^2=-1/(c^2)$
e facendo il $lim_{\omega->+oo}$:
$|nabla W(x,y,z)|^2=1$
c, la velocità di fase,può in generale dipendere dalla frequenza stessa (e si parla allora di relazione di dispersione)
doveva essere così se non ricordo male...Ma credo che si possa fare anche come hai detto tu nello spazio dei vettori k: infatti alta frequenza significa piccole lunghezze d'onda
PS ovviamente davanti alla soluzione del fronte d'onda c'è un fattore di fase A(omega) che non ho scritto ma che non cambia la cosa
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