[Analisi] cosa vorra' mai sapere?? (Eq. Poisson)
...LEGGETE DAL MIO ULTIMO POST... https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#300260
allora, il problema cosi recita:
trovare tutte le soluzioni dell'equazione radiale
$Delta u(x,y)=f(x,y)$
dove
$f(x,y)=e^(sqrt(x^2+y^2))*(1+sqrt(x^2+y^2)/2)-2$
la mia domanda e': chi mi rappresenta il Delta??
sostituendo $x=rho*cos(theta)$ e y di conseguenza, la funzione in f(x,y) e' semplicemente determinata.. non mi risulta chiara la richiesta, avete idee su come procedere??
"11/01/09 e' un'equazione di Poisson, come si risolve??"
allora, il problema cosi recita:
trovare tutte le soluzioni dell'equazione radiale
$Delta u(x,y)=f(x,y)$
dove
$f(x,y)=e^(sqrt(x^2+y^2))*(1+sqrt(x^2+y^2)/2)-2$
la mia domanda e': chi mi rappresenta il Delta??
sostituendo $x=rho*cos(theta)$ e y di conseguenza, la funzione in f(x,y) e' semplicemente determinata.. non mi risulta chiara la richiesta, avete idee su come procedere??
"11/01/09 e' un'equazione di Poisson, come si risolve??"
Risposte
Al primo membro ci va l'espressione del laplaciano in coordinate polari senza il termine in $theta$; visto che in coordinate polari hai:
$Delta u=1/rho (\partial )/(\partial rho)[rho (\partial u)/(\partial rho)]+1/rho^2 (\partial^2u )/(\partial theta^2) \quad$,
"eliminando" la derivata rispetto a $theta$ e scrivendo esplicitamente la derivata rispetto a $rho$ trovi appunto:
$Delta u=("d"^2u)/("d"rho^2)+1/rho ("d"u)/("d"rho) \quad$.
Quindi la tua EDO è del tipo:
$u''+1/rho u'=e^(rho)(1+rho/2)-2 \quad$.
L'omogenea associata è di Eulero; la completa la risolverei provando col metodo di Lagrange, casomai separando i termini noti e usando il principio di sovrapposizione (solo un'idea, non ho fatto i conti).
$Delta u=1/rho (\partial )/(\partial rho)[rho (\partial u)/(\partial rho)]+1/rho^2 (\partial^2u )/(\partial theta^2) \quad$,
"eliminando" la derivata rispetto a $theta$ e scrivendo esplicitamente la derivata rispetto a $rho$ trovi appunto:
$Delta u=("d"^2u)/("d"rho^2)+1/rho ("d"u)/("d"rho) \quad$.
Quindi la tua EDO è del tipo:
$u''+1/rho u'=e^(rho)(1+rho/2)-2 \quad$.
L'omogenea associata è di Eulero; la completa la risolverei provando col metodo di Lagrange, casomai separando i termini noti e usando il principio di sovrapposizione (solo un'idea, non ho fatto i conti).
Se l'equazione e'
$Delta u=1/rho (\partial )/(\partial rho)[rho (\partial u)/(\partial rho)]=f(\rho)$,
(perche' la derivata rispetto a $\theta$ fa zero) mi pare che convenga scriverla
$(\partial )/(\partial rho)[rho (\partial u)/(\partial rho)]=\rho f(\rho)$
e integrare due volte (scegliendo poi le costanti in modo da verificare la condizione al bordo)
$Delta u=1/rho (\partial )/(\partial rho)[rho (\partial u)/(\partial rho)]=f(\rho)$,
(perche' la derivata rispetto a $\theta$ fa zero) mi pare che convenga scriverla
$(\partial )/(\partial rho)[rho (\partial u)/(\partial rho)]=\rho f(\rho)$
e integrare due volte (scegliendo poi le costanti in modo da verificare la condizione al bordo)
Effettivamente...
io troverei la soluzione dell'omogenea associata, che è molto semplice, poi la soluzione della non omogenea è $int_(RR^2) Phi(x-y)f(y) dy$ dove $Phi(x)$ è la soluzione della omogenea, $x,yinRR^2$ ovviamente.
imboccatemi perche' non ci sto capendo niente..
please..
Abbiamo stabilito che il problema originario $Delta u (x,y)=f(x,y)$ può essere ricondotto alla EDO:
$1/rho ("d")/("d"rho )[rho ("d" u)/("d"rho)] =f(rho)$
in quanto 1) cerchiamo soluzioni dipendenti unicamente dal raggio $rho=\sqrt(x^2+y^2)$ e 2) il termine noto $f$ dipende unicamente da $rho$ (infatti è $f(rho)=e^rho*(1+1/2 rho)-2$).
Seguendo il consiglio di VG, riscriviamo la precedente come segue:
$("d")/("d"rho )[rho ("d" u)/("d"rho)] = rho f(rho)=rho(1+1/2rho)e^rho -2rho$
ed integriamo i membri esterni in modo da ottenere:
$\int ("d")/("d"rho )[rho ("d" u)/("d"rho)] " d"rho = c_1 + \int \{rho (1+1/2rho)e^rho -2rho \} " d"rho \quad =>$ (dopo un po' di conti...)
$\quad => rho ("d"u)/("d"rho)=c_1+1/2 rho^2(e^rho -2)$
ove figura la costante arbitraria $c_1 \in RR$; dall'ultima uguaglianza, dividendo per $rho$ m.a.m. ed integrando, traiamo:
$\int ("d"u)/("d"rho)" d"rho =c_2+\int c_1/rho " d"rho +\int 1/2 rho(e^rho -2) " d"rho \quad =>$ (dopo altri conti...)
$u=c_2+c_1ln rho +1/2 e^rho (rho-1)-1/2rho^2$
ove figurano le due costanti arbitrarie $c_1,c_2 \in RR$; ne viene che la nostra soluzione radiale (modulo errori di calcolo) è del tipo:
(*) $\quad u(rho)=c_2+c_1ln rho +1/2 e^rho (rho-1)-1/2rho^2 \quad$.
L'espressione di $u$ in coordinate cartesiane si trova sostituendo $rho=\sqrt(x^2+y^2)$ in (*).
Ovviamente le costanti $c_1,c_2$ sono da fissarsi in base ai dati al bordo del problema; ad esempio, se vuoi $u(x,y)$ continua in tutto $RR^2$ e con $u(0,0)=u_0$ ti basta prendere $c_1=0$ (poichè per $c_1!=0$ troveresti un logaritmo che "esplode" in $(0,0)$!) e $c_2=u_0+1/2$.
P.S.: La presenza degli integrali indefiniti potrebbe sembrare urang-utang©, però si può ovviare facilmente al problema: basta sostituire gli integrali indefiniti con integrali definiti con estremo inferiore $1$ ed estremo superiore variabile $rho$; tuttavia le costanti $c_1,c_2$ devono comunque comparire nella soluzione (se non vengono assegnate le condizioni al bordo), quindi passare agli integrali definiti sarebbe una finezza inutile.
$1/rho ("d")/("d"rho )[rho ("d" u)/("d"rho)] =f(rho)$
in quanto 1) cerchiamo soluzioni dipendenti unicamente dal raggio $rho=\sqrt(x^2+y^2)$ e 2) il termine noto $f$ dipende unicamente da $rho$ (infatti è $f(rho)=e^rho*(1+1/2 rho)-2$).
Seguendo il consiglio di VG, riscriviamo la precedente come segue:
$("d")/("d"rho )[rho ("d" u)/("d"rho)] = rho f(rho)=rho(1+1/2rho)e^rho -2rho$
ed integriamo i membri esterni in modo da ottenere:
$\int ("d")/("d"rho )[rho ("d" u)/("d"rho)] " d"rho = c_1 + \int \{rho (1+1/2rho)e^rho -2rho \} " d"rho \quad =>$ (dopo un po' di conti...)
$\quad => rho ("d"u)/("d"rho)=c_1+1/2 rho^2(e^rho -2)$
ove figura la costante arbitraria $c_1 \in RR$; dall'ultima uguaglianza, dividendo per $rho$ m.a.m. ed integrando, traiamo:
$\int ("d"u)/("d"rho)" d"rho =c_2+\int c_1/rho " d"rho +\int 1/2 rho(e^rho -2) " d"rho \quad =>$ (dopo altri conti...)
$u=c_2+c_1ln rho +1/2 e^rho (rho-1)-1/2rho^2$
ove figurano le due costanti arbitrarie $c_1,c_2 \in RR$; ne viene che la nostra soluzione radiale (modulo errori di calcolo) è del tipo:
(*) $\quad u(rho)=c_2+c_1ln rho +1/2 e^rho (rho-1)-1/2rho^2 \quad$.
L'espressione di $u$ in coordinate cartesiane si trova sostituendo $rho=\sqrt(x^2+y^2)$ in (*).
Ovviamente le costanti $c_1,c_2$ sono da fissarsi in base ai dati al bordo del problema; ad esempio, se vuoi $u(x,y)$ continua in tutto $RR^2$ e con $u(0,0)=u_0$ ti basta prendere $c_1=0$ (poichè per $c_1!=0$ troveresti un logaritmo che "esplode" in $(0,0)$!) e $c_2=u_0+1/2$.
P.S.: La presenza degli integrali indefiniti potrebbe sembrare urang-utang©, però si può ovviare facilmente al problema: basta sostituire gli integrali indefiniti con integrali definiti con estremo inferiore $1$ ed estremo superiore variabile $rho$; tuttavia le costanti $c_1,c_2$ devono comunque comparire nella soluzione (se non vengono assegnate le condizioni al bordo), quindi passare agli integrali definiti sarebbe una finezza inutile.
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