[Analisi] cosa vorra' mai sapere?? (Eq. Poisson)
...LEGGETE DAL MIO ULTIMO POST... https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#300260
allora, il problema cosi recita:
trovare tutte le soluzioni dell'equazione radiale
$Delta u(x,y)=f(x,y)$
dove
$f(x,y)=e^(sqrt(x^2+y^2))*(1+sqrt(x^2+y^2)/2)-2$
la mia domanda e': chi mi rappresenta il Delta??
sostituendo $x=rho*cos(theta)$ e y di conseguenza, la funzione in f(x,y) e' semplicemente determinata.. non mi risulta chiara la richiesta, avete idee su come procedere??
"11/01/09 e' un'equazione di Poisson, come si risolve??"
allora, il problema cosi recita:
trovare tutte le soluzioni dell'equazione radiale
$Delta u(x,y)=f(x,y)$
dove
$f(x,y)=e^(sqrt(x^2+y^2))*(1+sqrt(x^2+y^2)/2)-2$
la mia domanda e': chi mi rappresenta il Delta??
sostituendo $x=rho*cos(theta)$ e y di conseguenza, la funzione in f(x,y) e' semplicemente determinata.. non mi risulta chiara la richiesta, avete idee su come procedere??
"11/01/09 e' un'equazione di Poisson, come si risolve??"
Risposte
wow, è il titolo più originale che vedo da tempo 
bene, grazie, ma il problema rimane..
il delta $\Delta$ potrebbe essere il laplaciano in 2 dimensioni...
mmm... potrebbe anche essere..
per risolverlo dovrei semplicemente integrare la funzione 2 volte rispettto la x e la y??
per risolverlo dovrei semplicemente integrare la funzione 2 volte rispettto la x e la y??
si potresti...
ma l'esercizio ti dice che è un equazione radiale, quindi è più semplice sostituire $\sqrt[x^2+y^2]=\rho$ e scrivere il laplaciano in coordinate polari.
così integri rispetto una variabile sola
ma l'esercizio ti dice che è un equazione radiale, quindi è più semplice sostituire $\sqrt[x^2+y^2]=\rho$ e scrivere il laplaciano in coordinate polari.
così integri rispetto una variabile sola
a quanto pare.. pero' il laplaciano fa si che abbia:
$(d^2u)/(dx^2)+(d^2u)/(dy^2)=f(x,y)$
se io trasformo in coordinate polari ho
$f(rho,theta)$
se sostituisco praticamente $theta$ "sparisce" quindi ho da integrare 2 volte solamente rispetto a $rho$
il rpoblema e' che nel cambio di variabile ottenngo:
$(d^2u(rho,theta))/(drho^2)+ (d^2u(rho,theta))/(d theta^2)=f(rho,theta)$
quest'uguaglianza e' verificata??
mi pongo troppo problemi o mi pongo in maniera sbagliata nei confronti di questo problema??
$(d^2u)/(dx^2)+(d^2u)/(dy^2)=f(x,y)$
se io trasformo in coordinate polari ho
$f(rho,theta)$
se sostituisco praticamente $theta$ "sparisce" quindi ho da integrare 2 volte solamente rispetto a $rho$
il rpoblema e' che nel cambio di variabile ottenngo:
$(d^2u(rho,theta))/(drho^2)+ (d^2u(rho,theta))/(d theta^2)=f(rho,theta)$
quest'uguaglianza e' verificata??
mi pongo troppo problemi o mi pongo in maniera sbagliata nei confronti di questo problema??
essenzialmente devi risolvere questa equazione qua:
$[\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}+1/\rho\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}]u(\rho,\theta)=e^{\rho}(1+\rho/2)-2$
qui il problema non è come pensavo prima, non basta semplicemente integrare in $d\rho$ ma bisogna utilizzare il metodo per risolvere queste equazioni alle derivate parziali... è un po' più lungo...
buon lavoro
$[\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}+1/\rho\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}]u(\rho,\theta)=e^{\rho}(1+\rho/2)-2$
qui il problema non è come pensavo prima, non basta semplicemente integrare in $d\rho$ ma bisogna utilizzare il metodo per risolvere queste equazioni alle derivate parziali... è un po' più lungo...
buon lavoro
che spada....
sapete aiutarmi a risolvere questo problema??
a quanto ho capito e' un'equazione di Poisson questa, come posso risolverla??
a quanto ho capito e' un'equazione di Poisson questa, come posso risolverla??
L'unica cosa che mi viene in mente è usare la formula di rappresentazione delle soluzioni dell'eq. di Poisson $Delta u=f$ come convoluzione del termine noto con la soluzione fondamentale $Phi$ dell'eq. di Laplace (che pure è radiale); poi passare a coordinate polari per calcolare effettivamente la convoluzione.
Ricordo che la soluzione fondamentale dell'eq. di Laplace $Deltau=0$ è $Phi(x,y):=-1/(2pi)ln sqrt(x^2+y^2)$, cosicché la soluzione dell'eq. di Poisson $u$ si scrive:
$u(x,y):=-\int \int_(RR^2) Phi(x-xi,y-eta)f(xi,eta)" d"xi" d"eta \quad$.
Probabilmente, però, c'è una via più semplice...
Ricordo che la soluzione fondamentale dell'eq. di Laplace $Deltau=0$ è $Phi(x,y):=-1/(2pi)ln sqrt(x^2+y^2)$, cosicché la soluzione dell'eq. di Poisson $u$ si scrive:
$u(x,y):=-\int \int_(RR^2) Phi(x-xi,y-eta)f(xi,eta)" d"xi" d"eta \quad$.
Probabilmente, però, c'è una via più semplice...
"Cantaro86":
essenzialmente devi risolvere questa equazione qua:
$[\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}+1/\rho\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}]u(\rho,\theta)=e^{\rho}(1+\rho/2)-2$
Questa PDE è separabile e si possono cercare soluzioni della forma $u(\rho,\theta) = R(\rho)Y(\theta)$ e poi considerare una combinazione lineare di queste.
Se non sbaglio la funzione $Y(\theta)$ coincide con le armoniche sferiche nella forma $Y_l^m(\pi/2,\phi)$, quindi il tutto si riduce a risolvere l'equazione radiale.
"mashiro":
allora, il problema cosi recita:
trovare tutte le soluzioni dell'equazione radiale
$Delta u(x,y)=f(x,y)$
dove
$f(x,y)=e^(sqrt(x^2+y^2))*(1+sqrt(x^2+y^2)/2)-2$
la mia domanda e': chi mi rappresenta il Delta??
sostituendo $x=rho*cos(theta)$ e y di conseguenza, la funzione in f(x,y) e' semplicemente determinata.. non mi risulta chiara la richiesta, avete idee su come procedere??
"11/01/09 e' un'equazione di Poisson, come si risolve??"
riprendo questo post, che avevo abbandonato per mancanza di tempo per preparare analisi
allora. devo trovare il modo di risolvere questa equazione differenziale:
$[rho partial/(partial rho) (rho (partial/(partial rho)))+partial^2/(partial theta^2)]u(\rho,\theta)
per trovare le soluzioni la strada piu' facile e' a quanto pare separare le variabili: trovare quindi due funzioni
$F(rho)$ e $G(theta)$
t.c.
$u(rho,theta)=F(rho)G(theta)$
quindi
$rho(rho( F'(rho))')/(F(rho))+(G''(theta))/(G(theta))$
a questo punto mi sorgono dei dubbi.
per poter andare avanti a parer mio, bisognera' trovare le soluzioni dell'omogenea, quindi eguagliare a 0 la formula qui sopra.
se fosse giusto, avrei
$rho(rho( F'(rho))')/(F(rho))+(G''(theta))/(G(theta))=e^{\rho}(1+\rho/2)-2=0$
quindi
la $(G''(theta))/(G(theta))=-2$
che si risolve come $G(theta)=e^(+-i k theta)$
mentre $rho (rho(F'(rho))')/(F(rho))=e^rho(1+rho/2)=2$
che si risolve come equazione di Eulero (me par) e quindi sostituendo $log(rho)=t$
quindi $dt=1/rho d rho$
e percio'
$F(rho)=rho^(+-k)$
le soluzioni sono dunque da ricercarsi in
$u(rho,theta)=rho^(+-k)*e^(+-ik theta)$
spero di non aver scritto castronerie troppo grandi, per favore correggetemi!!!!!!!!!!
la parte in theta mi sembra sia banale (sempre che il risultato a cui sono arrivato sia corretto) e per k mi restituisce i valori
$k=sqrt(2i)$
non mi e' chiaro tuttavia come trovare la soluzione per la parte in $rho$
help....
$k=sqrt(2i)$
non mi e' chiaro tuttavia come trovare la soluzione per la parte in $rho$
help....
Non capisco se vuoi che la soluzione sia radiale...
In tal caso deve essere $(\partial u)/(\partial theta)=0$ identicamente, quindi tutto sta nel risolvere una EDO, ossia:
$\frac{"d"^2u}{"d"\rho^2}+1/\rho\frac{"d" u}{"d"\rho}=e^{\rho}(1+\rho/2)-2 \quad$.
Altrimenti, se vuoi una dipendenza esplicita da $theta$, devi risolvere qualcosa che assomiglia ad un problema di autovalori.
Separando le variabili trovi giustamente:
$rho(rho( F'(rho))')/(F(rho))+(G''(theta))/(G(theta))=e^{\rho}(1+\rho/2)-2 \quad$;
isolando i termini che dipendono da $\rho$ e quelli che dipendono dalla sola $theta$ trovi:
$rho(rho( F'(rho))')/(F(rho))-e^{\rho}(1+\rho/2)+2 =-(G''(theta))/(G(theta))\quad$,
quindi deve esistere una costante $lambda$ tale che:
$\{(-(G''(theta))/(G(theta))=lambda),(rho(rho( F'(rho))')/(F(rho))-e^{\rho}(1+\rho/2)+2=lambda):}$
Ora devi risolvere il primo problema (che è del tipo "moto armonico"), trovare i valori di $lambda$, sostituirli nella seconda equazione e vedere cosa riesci a tirarne fuori.
Il problema, ad ogni modo, è una gran rottura di bolas in questo caso.
In tal caso deve essere $(\partial u)/(\partial theta)=0$ identicamente, quindi tutto sta nel risolvere una EDO, ossia:
$\frac{"d"^2u}{"d"\rho^2}+1/\rho\frac{"d" u}{"d"\rho}=e^{\rho}(1+\rho/2)-2 \quad$.
Altrimenti, se vuoi una dipendenza esplicita da $theta$, devi risolvere qualcosa che assomiglia ad un problema di autovalori.
Separando le variabili trovi giustamente:
$rho(rho( F'(rho))')/(F(rho))+(G''(theta))/(G(theta))=e^{\rho}(1+\rho/2)-2 \quad$;
isolando i termini che dipendono da $\rho$ e quelli che dipendono dalla sola $theta$ trovi:
$rho(rho( F'(rho))')/(F(rho))-e^{\rho}(1+\rho/2)+2 =-(G''(theta))/(G(theta))\quad$,
quindi deve esistere una costante $lambda$ tale che:
$\{(-(G''(theta))/(G(theta))=lambda),(rho(rho( F'(rho))')/(F(rho))-e^{\rho}(1+\rho/2)+2=lambda):}$
Ora devi risolvere il primo problema (che è del tipo "moto armonico"), trovare i valori di $lambda$, sostituirli nella seconda equazione e vedere cosa riesci a tirarne fuori.
Il problema, ad ogni modo, è una gran rottura di bolas in questo caso.
scusa ma perche' dovrebbe essere nulla laperte in $theta$ ??
noi sappiamo che il laplaciano non dipende da $theta$, non il $(partial u)/(partial theta)
noi sappiamo che il laplaciano non dipende da $theta$, non il $(partial u)/(partial theta)
Scusa ma se $u$ è radiale, allora per definizione è $u(rho,theta)=u(rho)$ (poichè infatti radiale vuol dire che $u$ è costante su ogni circonferenza centrata nell'origine, ossia che il suo valore non dipende dall'anomalia $theta$), quindi $(\partial u)/(\partial theta)=0$.
Ovviamente ciò vale solo se $u$ è radiale.
P.S.: Ho rimaneggiato il post precedente. Leggilo, può darsi che ti serva.
Ovviamente ciò vale solo se $u$ è radiale.
P.S.: Ho rimaneggiato il post precedente. Leggilo, può darsi che ti serva.
si, si, infatti, stavo per cancellare la mia risposta..
hai proprio ragione, mi sono lasciato prendere dalla cosa quando in realta' mi si chiede di trovare solamente le soluzioni della parte radiale.
te ghe rasòn..
hai proprio ragione, mi sono lasciato prendere dalla cosa quando in realta' mi si chiede di trovare solamente le soluzioni della parte radiale.
te ghe rasòn..
aspetta.. mi si chiede di "trovare tutte le soluzioni radiali dell'equazione..."
cmq si, mi sa che e' una EDO..
cmq si, mi sa che e' una EDO..
Ovviamente l'equazione omogenea associata a:
$\frac{"d"^2u}{"d"\rho^2}+1/\rho\frac{"d" u}{"d"\rho}=e^{\rho}(1+\rho/2)-2 \quad$.
è di Eulero e, per risolverla, basta cercare integrali nella forma $u=rho^alpha$, con $alpha in RR$.
$\frac{"d"^2u}{"d"\rho^2}+1/\rho\frac{"d" u}{"d"\rho}=e^{\rho}(1+\rho/2)-2 \quad$.
è di Eulero e, per risolverla, basta cercare integrali nella forma $u=rho^alpha$, con $alpha in RR$.
"Gugo82":
Ovviamente l'equazione omogenea associata a:
$\frac{"d"^2u}{"d"\rho^2}+1/\rho\frac{"d" u}{"d"\rho}=e^{\rho}(1+\rho/2)-2 \quad$.
è di Eulero e, per risolverla, basta cercare integrali nella forma $u=rho^alpha$, con $alpha in RR$.
scusa ma non e' $\frac{"d"^2u}{"d"\rho^2}+\rho\frac{"d" u}{"d"\rho}=e^{\rho}(1+\rho/2)-2 \quad$ ??
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