Analisi: continuita'

[mashiro1]

sono un po' in difficolta'..
esercizio solito, in cui devo mostrare se una funzione e' continua nell'origine, se esiste il gradiente nell'origine, e se e' differenziabile..
non mi torna nulla..
la mi funzione e' questa:

$f(x,y)=(1-cos(4xy))/((exp^(sqrt(x^2+y^2))-1)log(1+x^2+y^2))$
$f(0,0)=0

per la continuita' in (0,0) devo provare che il $lim_((x,y)to(0,0)) f(x,y)=0$
moltiplico e divido per $4xy$ in modo tale che il termine con il coseno al numeratore tenda a 0
mi rimane:

$f(x,y)=(1-cos(4xy))/(4xy)*(4xy)/(e^(sqrt(x^2+y^2))-1)*1/(log(1+x^2+y^2))$

adesso moltiplico e divido per $x^2+y^2$ in modo tale che il termine con il logaritmo vada a 1

$f(x,y)=(1-cos(4xy))/(4xy)*1/(e^(sqrt(x^2+y^2))-1)*(x^2+y^2)/(log(1+x^2+y^2))*(4xy)/(x^2+y^2)$

adesso moltiplico e divido per $sqrt(x^2+y^2)$ cosi il termine con l'esponenziale tende a 1

$f(x,y)=(1-cos(4xy))/(4xy)*sqrt(x^2+y^2)/(e^(sqrt(x^2+y^2))-1)*(x^2+y^2)/(log(1+x^2+y^2))*(4xy)/((x^2+y^2)sqrt(x^2+y^2))$

i primi 3 termini adesso sono messi belli ordinati con i limiti noti, e' quell'ultimmo termine li, che non mi torna..
sotto ho una potenza di grado 3 e sopra di grado 2, la funzione in 0 per quello che vedo non e' continua, dove ho sbagliato??

[K.Lomax]

Ti ricordo che il coseno è un infinitesimo di ordine due ovvero:

$\lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$

Per quanto hai scritto tu i due termini sono dello stesso grado e quindi il primo rapporto tende a $0$ l'ultimo a $+\infty$ ed hai ancora una forma indeterminata. Prova a dividere e moltiplicare ancora per $4xy$ in modo da ottenere $1/2$ sul primo rapporto, ed una quantità di ordine 4 a numeratore dell'ultima frazione e ordine 3 a denominatore$\Rightarrow$ il limite fa $0$.

[mashiro1]

eccola qui.. c'hai proprio ragione mannaggia...
grazie