[Analisi Complessa]Singolarità polari.

[Otherguy2k]

Rieccomi:P
Ho un dubbio con una dimostrazione, spero che qualcuno di voi possa aiutarmi a capire.
Sia $f:A->CC$,olomorfa,sia $z_0$ un polo di ordine $n$ per $f$, allora:
$R_f(z_0)=1/((n-1)!)lim_{z->z_0}d^(n-1)/(dz^(n-1))[(z-z_0)^nf(z)]$
Dim:
Se $z_0$ è un polo di ordine $n$ per $f$ allora è una singolarità eliminabile per $g(z)=(z-z_0)^nf(z)$.
$g(z)$ allora essere prolungata in $z_0$ e sarà analitica in un suo intorno.
Per calcolare le derivate di $g$ possiamo sfruttare la seguente:
$g^(n-1)(z_0)=((n-1)!)/(2pij)int_{gamma}g(z)/((z-z_0)^n)dz=((n-1)!)/(2pij)int_{gamma}f(z)dz$
Da cui
$(g^(n-1)(z_0))/((n-1)!)=1/((n-1)!)lim_{z->z_0}d^(n-1)/(dz^(n-1))[(z-z_0)^nf(z)]$
Quest'ultimo passaggio non mi è chiaro, qualcuno potrebbe spiegarmi perchè
$(g^(n-1)(z_0))/((n-1)!)$
è uguale a quella roba li?
Grazie mille in anticipo per le evetuali risposte.

[Kroldar]

Si tratta di una conseguenza della formula integrale di Cauchy. Vai a vederti gli appunti di quella parte, il tuo professore l'avrà fatta sicuramente.

[Otherguy2k]

Ho controllato purtroppo non riesco a trovare nulla di relativo a questa relazione:
$(g^(n-1)(z_0))/((n-1)!)=1/((n-1)!)lim_{z->z_0}d^(n-1)/(dz^(n-1))[(z-z_0)^nf(z)]$
Need help

[pat871]

Compare! Stiamo facendo le stesse cose, siamo sulla stessa barca! Mmm, vediamo se posso esserti utile:

Sei d'accordo che $(g^(n-1)(z_0))/((n-1)!)$ è uguale al residuo di $f$ in $z_0$?
Infatti visto che $g$ è sviluppabile in serie di Taylor in $z_0$, perché ha singolarità eliminabile, allora $g(z) = a_0 + a_1(z - z_0) + ... + a_n(z-z_0)^n + ...$. Visto che $g(z) = (z-z_0)^nf(z)$, possiamo esprimere $f(z)$ come:
$f(z) = (a_0)/((z-z_0)^n) + (a_1)/((z-z_0)^(n-1)) + ... + (a_(n-1))/(z-z_0) + ...$
Ma questo fa si che $a_(n-1)$ è residuo di $f$! Ma $a_(n-1) = (g^(n-1)(z_0))/((n-1)!)$.
Perciò $(g^(n-1)(z_0))/((n-1)!)$ è residuo di f.
Detto questo, e sapendo che $g(z) = (z-z_0)^n f(z)$, il residuo di $f$ in $z_0$ è dato da:
$Res_(z=z_0) f(z) = (g^(n-1)(z_0))/((n-1)!) = 1/((n-1)!) g^(n-1)(z_0) = 1/((n-1)!) lim_(z -> z_0) g^(n-1)(z) = 1/((n-1)!) lim_(z -> z_0) (d^(n-1))/(dz^(n-1)) ( g(z)) = 1/((n-1)!) lim_(z -> z_0) (d^(n-1))/(dz^(n-1)) ((z-z_0)^n f(z))$

CVD.

Spero di essere stato chiaro, ciao!!!

[Otherguy2k]

Si chiaro!
Ci ero arrivato pur'io stamane quando mi so messo a ripetere in un aula libera !!!!!
L'esame si avvcina speriamo bene