Analisi Complessa:2 esercizi

[Sk_Anonymous]

Classificare le singolarità della funzione:
$f(z)=(1+z^2)/(z*sen^2z)$
e determinare lo sviluppo in serie di Laurent di centro $z=0$.


Calcolare $oint_Gamma[z*sin(1/z)*cos(1/z+pi)]^-1*dz$,ove $Gamma={zinCC:|z|=1/2}$.

[Sk_Anonymous]

Per l'integrale osservare che $cos(1/z+pi)=-cos(1/z)$...

[gugo82]

"Sturmentruppen":Classificare le singolarità della funzione:
$f(z)=(1+z^2)/(z*sen^2z)$
e determinare lo sviluppo in serie di Laurent di centro $z=0$.


Calcolare $int_(|z|=1/2) 1/(z*sin(1/z)*cos(1/z+pi))" d"z$.

Le singolarità al finito sono tutte semplici da classificare (si trovano in corrispondenza degli zeri di $sin z$ e sono tutte polari d'ordine due, a parte lo $0$ che è di ordine tre).
L'infinito è un punto d'accumulazione delle singolarità al finito, perciò non credo sia classificabile.

L'integrale, ad occhio e croce, si fa col teorema dei residui e tenendo presente che puoi classificare le singolarità dell'integrando interne a $Gamma$ operando la sostituzione $zeta=1/z$.

Però sono un po' arrugginito con l'Analisi Complessa, quindi cerco anch'io conferme.

[Sk_Anonymous]

Per l'integrale consiglio di calcolare il residuo all'infinito...

[Sk_Anonymous]

A quanto pare l'analisi complessa non attira più

[Sk_Anonymous]

Riporto la soluzione dell'integrale dal momento che a distanza di una settimana ancora nessuno ci ha provato:

$oint_Gamma...=oint_Gamma-2/(z*sen(2/z))*dz

sia $f(z)=-1/(z*sen(2/z))$ allora $Res(f,infty)=Res(-1/z^2*f(1/z),0)
ora:
$f(1/z)=-z/(sen(2z))$ segue $-1/z^2*f(1/z)=1/(z*sen(2z))=1/(z*(2z-(8z^3)/(3!)+...))=1/(2z^2*(1-(4z^2)/(3!)+...))
per cui $z=0$ è polo doppio per la funzione $g(z)=-1/z^2*f(1/z)
calcoliamo il residuo:
$Res(g,0)=lim_(zto0)d/(dz)[z^2*g(z)]=lim_(zto0)d/(dz)[z/(sen(2z))]=lim_(zto0)(sen(2z)-2z*cos(2z))/(sen^2(2z))=****=0$

Ricordando che la somma dei residui di una funzione fa zero segue che l'integrale è nullo.
tutto qua

[Sk_Anonymous]

"Ene@":
Calcolare $oint_Gamma[z*sin(1/z)*cos(1/z+pi)]^-1*dz$,ove $Gamma={zinCC:|z|=1/2}$.

propongo di risolvere lo stesso integrale lungo il cammino $Gamma={zinCC:|z-1|=1/2}$