Analisi complessa: un integrale con Cauchy
Salve a tutti, vi posto la traccia di un integrale (analisi complessa) che ho risolto tramite il metodo dei residui.
Tutto ok con questo metodo...ma ho un problema con Cauchy.
Perdonate la scrittura, non riesco a impostare le formule dal cellulare.
Integrale lungo la curva A=4e^(i theta ) (quindi circonferenza di raggio 4) di (z^2+4)/z(z^2+1)
Calcolando le singolarità ottengo 0, i ,-i.
Applicare il metodo dei residui qui è molto semplice..il problema sorge volendolo calcolare con Cauchy,
Il consiglio del prof è stato restringere il dominio alle singolarità..ed "effettuare dei tagli al dominio", quindi otterrei tre piccole circonferenze nella circonferenza principare 4e^i theta.
In questo caso, non riesco a continuare.
Una mia idea è stata vedere :
integrale su A - integrale su a1- integrale su a2- integrale su a3= 0 dove a1,a2 e a3 sono le tre circonferenze attorno alle singolarità.
Quando entra in gioco la formula di cauchy?
Non riesco proprio a capire il procedimento. Grazie
Tutto ok con questo metodo...ma ho un problema con Cauchy.
Perdonate la scrittura, non riesco a impostare le formule dal cellulare.
Integrale lungo la curva A=4e^(i theta ) (quindi circonferenza di raggio 4) di (z^2+4)/z(z^2+1)
Calcolando le singolarità ottengo 0, i ,-i.
Applicare il metodo dei residui qui è molto semplice..il problema sorge volendolo calcolare con Cauchy,
Il consiglio del prof è stato restringere il dominio alle singolarità..ed "effettuare dei tagli al dominio", quindi otterrei tre piccole circonferenze nella circonferenza principare 4e^i theta.
In questo caso, non riesco a continuare.
Una mia idea è stata vedere :
integrale su A - integrale su a1- integrale su a2- integrale su a3= 0 dove a1,a2 e a3 sono le tre circonferenze attorno alle singolarità.
Quando entra in gioco la formula di cauchy?
Non riesco proprio a capire il procedimento. Grazie
Risposte
Immagina di "bucare" la parte interna a $\Gamma$ con tre circonferenzine centrate nelle singolarità \(\gamma_0\), \(\gamma_1\), \(\gamma_2\).
Il nuovo insieme, che ha per frontiera l'unione di $\Gamma$, \(\gamma_0\), \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) non contiene singolarità, ergo l'integrale lungo la sua frontiera è nullo (Teorema Integrale di Cauchy).
Ne viene, per proprietà additiva, che:
\[
\int_\Gamma f(z)\ \text{d}z = \sum_{n=1}^3 \int_{\gamma_n} f(z)\ \text{d}z
\]
ed i tre integrali a destra si calcolano con la Formula Integrale di Cauchy.
Il nuovo insieme, che ha per frontiera l'unione di $\Gamma$, \(\gamma_0\), \(\gamma_1\) e \(\gamma_2\) non contiene singolarità, ergo l'integrale lungo la sua frontiera è nullo (Teorema Integrale di Cauchy).
Ne viene, per proprietà additiva, che:
\[
\int_\Gamma f(z)\ \text{d}z = \sum_{n=1}^3 \int_{\gamma_n} f(z)\ \text{d}z
\]
ed i tre integrali a destra si calcolano con la Formula Integrale di Cauchy.
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