Analisi complessa Residui :(
Salve a tutti, sto studiando analisi complessa per l'esame di appunto di analisi..ho da risolvere integrali, equazioni differenziali con l'ausilio della trasformata di Laplace e integrali nel valor principale... tutto questo con i residui integrali...
Nel mio studio mi sono ritrovato in alcuni casi... quelli che mi stanno dando più fastidi , sono le funzioni che si presentano come il rapporto di due funzioni e ne devo calcolare il residuo.
$ L(z)=f(z)/g(z) $
se g(z) ha uno zero del primo ordine in z0 ed è uno zero del primo ordine anche del numeratore allora z0 che cos'è? e il residuo come si calcola ?_?
Esempio numerico
$ (e^z-1)/(z^2+z) $ in z=0;
Similmente quando ho una funzione dove g(x) presenta uno zero di ordine 3 in z0 e il numeratore f(x) ha uno zero di ordine 1, quindi la funzione complessivamente ha uno zero di ordine 2 in z0.... come si calcola il residuo?con il teorema di de Hopital o usando l'osservazione:
$ lim_(z -> z0)1/(k-1)!d/(dz) [(z-zo)^k f(x)/g(x)]
? ? $
Poi ci sarebbe un'altra questione che non riguarda proprio i residui , ma l'ho incontrato mentre dovevo usare il teorema di dei residui... ovvero : se ho cosx esso lo posso scrivere come:
$ (e^(ix)+e^-(ix))/2=(e^(2ix)+1)/(2e^(ix))=>(z^2+1)/(2z) $
con $ e^(ix)=z $
Ora invece se ho cos(3x) posso fare la stessa cosa sostituendo al posto di x , 3x ? o devo usare la formula di eulero e calcolarmi solo la parte reale ?
Vi ringrazio tutti infinitamente , spero sappiate darmi una mano!
Nel mio studio mi sono ritrovato in alcuni casi... quelli che mi stanno dando più fastidi , sono le funzioni che si presentano come il rapporto di due funzioni e ne devo calcolare il residuo.
$ L(z)=f(z)/g(z) $
se g(z) ha uno zero del primo ordine in z0 ed è uno zero del primo ordine anche del numeratore allora z0 che cos'è? e il residuo come si calcola ?_?
Esempio numerico
$ (e^z-1)/(z^2+z) $ in z=0;
Similmente quando ho una funzione dove g(x) presenta uno zero di ordine 3 in z0 e il numeratore f(x) ha uno zero di ordine 1, quindi la funzione complessivamente ha uno zero di ordine 2 in z0.... come si calcola il residuo?con il teorema di de Hopital o usando l'osservazione:
$ lim_(z -> z0)1/(k-1)!d/(dz) [(z-zo)^k f(x)/g(x)]
? ? $
Poi ci sarebbe un'altra questione che non riguarda proprio i residui , ma l'ho incontrato mentre dovevo usare il teorema di dei residui... ovvero : se ho cosx esso lo posso scrivere come:
$ (e^(ix)+e^-(ix))/2=(e^(2ix)+1)/(2e^(ix))=>(z^2+1)/(2z) $
con $ e^(ix)=z $
Ora invece se ho cos(3x) posso fare la stessa cosa sostituendo al posto di x , 3x ? o devo usare la formula di eulero e calcolarmi solo la parte reale ?
Vi ringrazio tutti infinitamente , spero sappiate darmi una mano!
Risposte
nel tuo esempio hai una singolarita' eliminabile $z=0$ per $(e^z-1)/z=1$.Per poli doppi,tripli $z=z_0$ puoi usare quella formula scorbutica in alternativa anche dell'Hopital
in $ lim_( z->z_0 ) f(z)(z-z_0)$.Certo che puoi sostituire 3x con $e^(3ix)=z^3$
in $ lim_( z->z_0 ) f(z)(z-z_0)$.Certo che puoi sostituire 3x con $e^(3ix)=z^3$
Ok oggi, rivedendo meglio le dimostrazioni ho capito anche alcune cose che mi sembravano strane, solo che l'ultimo dubbio mi è rimasto sempre per le funzioni che si presentano come rapporto di due funzioni e il grado dello zero del numeratore è uguale a quello del denominatore. In quel caso il residuo come si calcola e quando deve valere ?
Vorrei potervi proporre un esempio, però il problema ce l'ho proprio sulla formula in generale.
In ogni Caso grazie legendre.
Ps: Ma allora quando conviene porre uguale cosx alla parte reale di e^(iz)?
Vorrei potervi proporre un esempio, però il problema ce l'ho proprio sulla formula in generale.
In ogni Caso grazie legendre.
Ps: Ma allora quando conviene porre uguale cosx alla parte reale di e^(iz)?
Ad esempio, se hai [tex]$f(z)=\frac{\sin z}{z}$[/tex], cosa succede? Quanto vale il residuo in [tex]$0$[/tex]?
Si, ma anche l'esempio di prima con $ (e^(z)-1)/(z^2+z) con z=0 $ o se per esempio il numeratore ha uno zero di ordine 2 e il den pure... in generale quando sono uguali , come lo calcolo il residuo ?
Infatti mi era venuto in mente di stimolarti un po' proponendoti un esempio abbastanza semplice da svolgere "a mano".
Per definizione, il residuo è il coefficiente di [tex]$\frac{1}{z-z_0}$[/tex] nell'espansione della funzione [tex]$f(z)$[/tex] in serie di Laurent intorno alla supposta singolarità [tex]$z_0$[/tex].
Nel caso in esame è [tex]$f(z):=\frac{\sin z}{z}$[/tex] e [tex]$z_0=0$[/tex]: ecco, prova a determinare il residuo cercando di scrivere esplicitamente la serie di Laurent di [tex]$f(z)$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex].
Su, prova.
Per definizione, il residuo è il coefficiente di [tex]$\frac{1}{z-z_0}$[/tex] nell'espansione della funzione [tex]$f(z)$[/tex] in serie di Laurent intorno alla supposta singolarità [tex]$z_0$[/tex].
Nel caso in esame è [tex]$f(z):=\frac{\sin z}{z}$[/tex] e [tex]$z_0=0$[/tex]: ecco, prova a determinare il residuo cercando di scrivere esplicitamente la serie di Laurent di [tex]$f(z)$[/tex] intorno a [tex]$0$[/tex].
Su, prova.
Si ma qui il residuo secondo me deve essere zero perchè per Z=0, abbiamo che è un punto regolare, definito proprio come convergente il suo limite per z che tende a z0
OK.
Quanto hai scritto mi fa pensare che tu sappia che il rapporto [tex]$\frac{f(z)}{g(z)}$[/tex] di due funzioni olomorfe intorno a [tex]$z_0[/tex]$, nulle in [tex]$z_0$[/tex] ma non identicamente nulle intorno a [tex]$z_0$[/tex], ha in [tex]$z_0$[/tex] un punto regolare se [tex]$z_0$[/tex] è uno zero dello stesso ordine per [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex].
Ciò importa che il residuo di [tex]$\tfrac{f(z)}{g(z)}$[/tex] in [tex]$z_0$[/tex] è nullo: infatti se [tex]$z_0$[/tex] è uno zero d'ordine [tex]$N$[/tex] sia per [tex]$f$[/tex] sia per [tex]$g$[/tex], allora risulta:
[tex]$f(z)=(z-z_0)^N \phi (z) \; \text{ e } \; g(z)=(z-z_0)^N \psi (z) \; \text{ (con $\phi ,\psi$ analitiche e $\phi(z_0),\psi(z_0)\neq 0$)} \quad \Rightarrow $[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad \frac{f(z)}{g(z)} =\frac{\phi (z)}{\psi (z)}$[/tex]
ed il secondo membro dell'ultima uguaglianza è funzione olomorfa intorno a [tex]$z_0$[/tex]; pertanto lo sviluppo in serie di Laurent di [tex]$\tfrac{f(z)}{g(z)}$[/tex] intorno a [tex]$z_0$[/tex] non contiene potenza negative di [tex]$z-z_0$[/tex] (poiché coincide con quello della funzione olomorfa [tex]$\tfrac{\phi (z)}{\psi (z)}$[/tex]).
Pertanto [tex]$\text{Res} \left( \tfrac{f}{g} ;z_0\right) =0$[/tex] se [tex]$z_0$[/tex] è uno zero dello stesso ordine per [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex].
Quanto hai scritto mi fa pensare che tu sappia che il rapporto [tex]$\frac{f(z)}{g(z)}$[/tex] di due funzioni olomorfe intorno a [tex]$z_0[/tex]$, nulle in [tex]$z_0$[/tex] ma non identicamente nulle intorno a [tex]$z_0$[/tex], ha in [tex]$z_0$[/tex] un punto regolare se [tex]$z_0$[/tex] è uno zero dello stesso ordine per [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex].
Ciò importa che il residuo di [tex]$\tfrac{f(z)}{g(z)}$[/tex] in [tex]$z_0$[/tex] è nullo: infatti se [tex]$z_0$[/tex] è uno zero d'ordine [tex]$N$[/tex] sia per [tex]$f$[/tex] sia per [tex]$g$[/tex], allora risulta:
[tex]$f(z)=(z-z_0)^N \phi (z) \; \text{ e } \; g(z)=(z-z_0)^N \psi (z) \; \text{ (con $\phi ,\psi$ analitiche e $\phi(z_0),\psi(z_0)\neq 0$)} \quad \Rightarrow $[/tex]
[tex]$\Rightarrow \quad \frac{f(z)}{g(z)} =\frac{\phi (z)}{\psi (z)}$[/tex]
ed il secondo membro dell'ultima uguaglianza è funzione olomorfa intorno a [tex]$z_0$[/tex]; pertanto lo sviluppo in serie di Laurent di [tex]$\tfrac{f(z)}{g(z)}$[/tex] intorno a [tex]$z_0$[/tex] non contiene potenza negative di [tex]$z-z_0$[/tex] (poiché coincide con quello della funzione olomorfa [tex]$\tfrac{\phi (z)}{\psi (z)}$[/tex]).
Pertanto [tex]$\text{Res} \left( \tfrac{f}{g} ;z_0\right) =0$[/tex] se [tex]$z_0$[/tex] è uno zero dello stesso ordine per [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex].
Ok , è proprio questo che stavo pensando ieri...lo sviluppo di laurent della parte singolare di f(z) e g(z), vedono semplificarsi tutti i termini Z-Z0 se z0 è uno zero di ordine N per entrambe... ma quindi la parte singolare sono tutti coefficienti?
Essendo il residuo il primo coefficiente della parte singolare (a-1), come fa a venire zero ?
Lo so magari è semplicissimo e credo che staimo proprio vicini, però nn riesco ad afferrare ancora sta cosa..
Provo a dare una soluzione: Siccome la parte singolare sono tutti coefficienti: a-1,a-2,a-3,....,a-n, allora per ricavare a-1, dovrei fare la derivata N-1 esima, però essendo tutti coefficienti, già dalla derivata prima vengono tutti zero, compreso a-1 e quindi il residuo...
Ci sono andato vicino ?
Essendo il residuo il primo coefficiente della parte singolare (a-1), come fa a venire zero ?
Lo so magari è semplicissimo e credo che staimo proprio vicini, però nn riesco ad afferrare ancora sta cosa..
Provo a dare una soluzione: Siccome la parte singolare sono tutti coefficienti: a-1,a-2,a-3,....,a-n, allora per ricavare a-1, dovrei fare la derivata N-1 esima, però essendo tutti coefficienti, già dalla derivata prima vengono tutti zero, compreso a-1 e quindi il residuo...
Ci sono andato vicino ?
"SuperPabjin":
Ok , è proprio questo che stavo pensando ieri...lo sviluppo di laurent della parte singolare di f(z) e g(z), vedono semplificarsi tutti i termini Z-Z0 se z0 è uno zero di ordine N per entrambe... ma quindi la parte singolare sono tutti coefficienti?
Essendo il residuo il primo coefficiente della parte singolare (a-1), come fa a venire zero ?
Lo so magari è semplicissimo e credo che staimo proprio vicini, però nn riesco ad afferrare ancora sta cosa..
Provo a dare una soluzione: Siccome la parte singolare sono tutti coefficienti: a-1,a-2,a-3,....,a-n, allora per ricavare a-1, dovrei fare la derivata N-1 esima, però essendo tutti coefficienti, già dalla derivata prima vengono tutti zero, compreso a-1 e quindi il residuo...
Ci sono andato vicino ?
Mmmm... Secondo me no, ma dubito di aver capito cosa vuoi dire.
Ricorda che una condizione sufficiente affinché un residuo al finito sia nullo è che la [tex]$f(z)$[/tex] sia olomorfa in [tex]$z_0$[/tex] (perchè?).
Questo qui in particolare nn l'ho studiato però so che in un punto regolare dove la funzione in z0 non è olomorfa, è prolugabile e quindi olomorfa anche in quel punto.. è come un punto di discontinuità eliminabile dato che il limite esiste...
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