[Analisi complessa] Funzione analitica su un anello
Sto facendo alcuni esercizi sul Rudin (Real and complex analysis). Mi trovo confusa sul seguente passaggio.
Ho una funzione f olomorfa sull'anello $A(r_1, r_2)$. Il primo punto chiede di dimostrare che è possibile scrivere f nella forma
$2\pi i f(z)= (\int_{\gamma_1}+\int_{\gamma_2}) \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi$
dove $\gamma_1(t)=(r_1+\epsilon)e^{-it},\gamma_2(t)=(r_2-\epsilon)e^{it}$
e fin qui tutto ok, l'ho fatto.
Dopo di che dice "usando ciò dimostrare che $f(z)=f_1(z)+f_2(z)$ con $f_2\in\mathcal{H}(D(0,r_2)),f_1\in\mathcal{H}(D(\infty,r_1))$."
Prendendo $f_2(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi$ mi resta il problema dell'$\epsilon$. Di sicuro questa funzione è olomorfa in $D(0,r_2-\epsilon)$, ma non so come fare a completare il punto.
Ho provato ad esplicitare l'integrale, pensando di usare la convergenza dominata, ma il problema è che la funzione $f$ non è detto che abbia limite radiale quasi ovunque, no?
Grazie a chi mi darà una mano.
Paola
Ho una funzione f olomorfa sull'anello $A(r_1, r_2)$. Il primo punto chiede di dimostrare che è possibile scrivere f nella forma
$2\pi i f(z)= (\int_{\gamma_1}+\int_{\gamma_2}) \frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi$
dove $\gamma_1(t)=(r_1+\epsilon)e^{-it},\gamma_2(t)=(r_2-\epsilon)e^{it}$
e fin qui tutto ok, l'ho fatto.
Dopo di che dice "usando ciò dimostrare che $f(z)=f_1(z)+f_2(z)$ con $f_2\in\mathcal{H}(D(0,r_2)),f_1\in\mathcal{H}(D(\infty,r_1))$."
Prendendo $f_2(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}frac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi$ mi resta il problema dell'$\epsilon$. Di sicuro questa funzione è olomorfa in $D(0,r_2-\epsilon)$, ma non so come fare a completare il punto.
Ho provato ad esplicitare l'integrale, pensando di usare la convergenza dominata, ma il problema è che la funzione $f$ non è detto che abbia limite radiale quasi ovunque, no?
Grazie a chi mi darà una mano.
Paola
Risposte
Potresti tener presente che:
[tex]$\tfrac{1}{\xi -z}=\frac{1}{\xi}\frac{1}{1-\frac{z}{\xi}}=\frac{1}{\xi}\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{z}{\xi}\right)^n$[/tex],
con convergenza totale in ogni parte del disco aperto [tex]$D(0;r_2)$[/tex] (perchè [tex]$\tfrac{|z|}{|\xi|} < 1$[/tex]), sicché:
[tex]$\int_{+\gamma_2} \frac{f(\xi)}{\xi -z}\ \text{d} \xi =\sum_{n=0}^{+\infty} \left\{ \int_{+\gamma_2} f(\xi)\ \xi^{n+1}\ \text{d} \xi\right\} z^n$[/tex],
con la serie a secondo membro convergente totalmente in ogni parte del disco aperto [tex]$D(0;r_2)$[/tex].
P.S.: Era un po' che non ci si leggeva, eh?
[tex]$\tfrac{1}{\xi -z}=\frac{1}{\xi}\frac{1}{1-\frac{z}{\xi}}=\frac{1}{\xi}\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{z}{\xi}\right)^n$[/tex],
con convergenza totale in ogni parte del disco aperto [tex]$D(0;r_2)$[/tex] (perchè [tex]$\tfrac{|z|}{|\xi|} < 1$[/tex]), sicché:
[tex]$\int_{+\gamma_2} \frac{f(\xi)}{\xi -z}\ \text{d} \xi =\sum_{n=0}^{+\infty} \left\{ \int_{+\gamma_2} f(\xi)\ \xi^{n+1}\ \text{d} \xi\right\} z^n$[/tex],
con la serie a secondo membro convergente totalmente in ogni parte del disco aperto [tex]$D(0;r_2)$[/tex].
P.S.: Era un po' che non ci si leggeva, eh?
Sigh e dire che quella espansione in potenze l'avevo trovata nel punto successivo! Grazie Gugo, in effetti era un bel po' che non passavo di qui, dovró rimediare in futuro 
.
Ho un altro punto che mi confonde, magari anche solo un suggerimento va bene. "Dimostrare che questa scomposizione é unica se si pone $f_1(\infty)=0$".
Quest'estate, tesi permettendo, mi forzeró a fare tutti gli esercizi possibili su sto Rudin, faccio troppo pena -.-.
Paola
.Ho un altro punto che mi confonde, magari anche solo un suggerimento va bene. "Dimostrare che questa scomposizione é unica se si pone $f_1(\infty)=0$".
Quest'estate, tesi permettendo, mi forzeró a fare tutti gli esercizi possibili su sto Rudin, faccio troppo pena -.-.
Paola
Secondo me puoi provare a fare due conti ricordando che [tex]$f_1(\infty) = f_1(\tfrac{1}{z})\Big|_{z=0}$[/tex]...
Qui stai dicendo che nello sviluppo in serie di [tex]$f(z)=f_1(z)+f_2(z)$[/tex] non figura esplicitamente [tex]$f_1(\infty)=c_0^{(1)}$[/tex] (nel senso che hai una cosa del tipo [tex]f(z)=\sum_{n=1}^{+\infty} c_{-n}^{(1)}\tfrac{1}{z^n} +\sum_{n=0}^{+\infty} c_n^{(2)} z^n[/tex], ove [tex]$c_n^{(k)}$[/tex] è lo [tex]$n$[/tex]-esimo coefficiente di [tex]$f_k(z)$[/tex] del tipo determinato sopra), quindi lo sviluppo è determinato a meno di una costante additiva; la condizione [tex]$f_1(\infty)$[/tex] va dunque letta come una condizione di normalizzazione per lo sviluppo imposta per garantire l'unicità (altrimenti lo sviluppo palesemente non è unico: ad esempio, al posto delle due funzioni [tex]$f_1,f_2$[/tex] considerate in precedenza, si potrebbero prendere [tex]$g_1=f_1+\alpha,\ g_2=f_2-\alpha$[/tex] con [tex]$\alpha \in \mathbb{C}$[/tex] qualsiasi).
Qui stai dicendo che nello sviluppo in serie di [tex]$f(z)=f_1(z)+f_2(z)$[/tex] non figura esplicitamente [tex]$f_1(\infty)=c_0^{(1)}$[/tex] (nel senso che hai una cosa del tipo [tex]f(z)=\sum_{n=1}^{+\infty} c_{-n}^{(1)}\tfrac{1}{z^n} +\sum_{n=0}^{+\infty} c_n^{(2)} z^n[/tex], ove [tex]$c_n^{(k)}$[/tex] è lo [tex]$n$[/tex]-esimo coefficiente di [tex]$f_k(z)$[/tex] del tipo determinato sopra), quindi lo sviluppo è determinato a meno di una costante additiva; la condizione [tex]$f_1(\infty)$[/tex] va dunque letta come una condizione di normalizzazione per lo sviluppo imposta per garantire l'unicità (altrimenti lo sviluppo palesemente non è unico: ad esempio, al posto delle due funzioni [tex]$f_1,f_2$[/tex] considerate in precedenza, si potrebbero prendere [tex]$g_1=f_1+\alpha,\ g_2=f_2-\alpha$[/tex] con [tex]$\alpha \in \mathbb{C}$[/tex] qualsiasi).
Mi serve un'altra spintarella su questo problema.
Devo dimostrare che se $f$ è limitata ha limite radiale quasi ovunque.
Intuitivamente mi suona bene, ma calcolisticamente sono di nuovo un po' persa.
Ricapitolo ciò che so sulla funzione:
$f=f_1 + f_2 $
$f_1(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_1}\frac{f(\xi)}{\xi -z} d\xi $ $f_2(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}\frac{f(\xi)}{\xi -z} d\xi$
serie di Laurent esplicita:
$f(z)=\sum_{n\in\mathbb{N}}(-\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_1}f(\xi)\xi^{n-1} d\xi )z^{-n} +\sum_{n\in\mathbb{N}\cup\{ 0\}}(\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}\frac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}d\xi )z^n $
Un input per favore?
Paola
Devo dimostrare che se $f$ è limitata ha limite radiale quasi ovunque.
Intuitivamente mi suona bene, ma calcolisticamente sono di nuovo un po' persa.
Ricapitolo ciò che so sulla funzione:
$f=f_1 + f_2 $
$f_1(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_1}\frac{f(\xi)}{\xi -z} d\xi $ $f_2(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}\frac{f(\xi)}{\xi -z} d\xi$
serie di Laurent esplicita:
$f(z)=\sum_{n\in\mathbb{N}}(-\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_1}f(\xi)\xi^{n-1} d\xi )z^{-n} +\sum_{n\in\mathbb{N}\cup\{ 0\}}(\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma_2}\frac{f(\xi)}{\xi^{n+1}}d\xi )z^n $
Un input per favore?
Paola
Scusa, Paola, devi mostrare che [tex]$\lim_{|z|\to r_1^+} f(z)$[/tex] e [tex]$\lim_{|z|\to r_2^-} f(z)$[/tex] esistono q.o., o ho capito male?
A questo punto, non basterebbe tener presente che il comportamento di [tex]$f(z)$[/tex] su [tex]$\partial D(0;r_1)$[/tex] è determinato da [tex]$f_1(z)$[/tex] e, viceversa, che il comportamento di [tex]$f(z)$[/tex] su [tex]$\partial D(0;r_2)$[/tex] è determinato da [tex]$f_2(z)$[/tex]?
A questo punto, non basterebbe tener presente che il comportamento di [tex]$f(z)$[/tex] su [tex]$\partial D(0;r_1)$[/tex] è determinato da [tex]$f_1(z)$[/tex] e, viceversa, che il comportamento di [tex]$f(z)$[/tex] su [tex]$\partial D(0;r_2)$[/tex] è determinato da [tex]$f_2(z)$[/tex]?
Sì questo d'accordo, chiaramente se vado verso $r_2$ è $f_2$ che dà problemi, non certo $f_1$.
Ho provato a scrivere $z=(r_2-h)e^{it_0}$ e fare $\lim_{h\to 0} f_2((r_2-h)e^{it_0})$. Se uso la formula integrale esplicitamente ho qualcosa tipo:
$\lim_{h\to 0}\int_{\gamma_2} \frac{f(\xi)}{\xi-(r_2-h)e^{it_0}} d\xi$. Ho provato con la parametrizzazione di $\gamma_2$
$\lim_{h\to 0}\int_0^{2\pi} \frac{f((r_2-\epsilon)e^{it})}{(r_2-\epsilon)e^{it}-(r_2-h)e^{it}} (r_2-\epsilon)i e^{it} dt$
Qui l'$\epsilon$ mi confonde... devo far tendere a $0$ anche lui? E comunque da quel limite non cavo niente, non riesco a capire come sfruttare la limitatezza sinceramente.
Paola
Ho provato a scrivere $z=(r_2-h)e^{it_0}$ e fare $\lim_{h\to 0} f_2((r_2-h)e^{it_0})$. Se uso la formula integrale esplicitamente ho qualcosa tipo:
$\lim_{h\to 0}\int_{\gamma_2} \frac{f(\xi)}{\xi-(r_2-h)e^{it_0}} d\xi$. Ho provato con la parametrizzazione di $\gamma_2$
$\lim_{h\to 0}\int_0^{2\pi} \frac{f((r_2-\epsilon)e^{it})}{(r_2-\epsilon)e^{it}-(r_2-h)e^{it}} (r_2-\epsilon)i e^{it} dt$
Qui l'$\epsilon$ mi confonde... devo far tendere a $0$ anche lui? E comunque da quel limite non cavo niente, non riesco a capire come sfruttare la limitatezza sinceramente.
Paola
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