Analisi complessa: esercizi trasformazione di Möbius
Ciao tutti 
Ho alcuni problemi su esercizi del tipo:
"1) Determinare la trasformazione di Möbius T tale che T(1)=-1, T(0)=1 e T(-i)=i.
2) Determinare i punti i fissi di T.
3) Trovare l'immagine di $ A={z=x+iyin C | y=-3} $ tramite T."
Già al primo punto non mi trovo. Cioè una trasformazione di Möbius è del tipo: $ T(z)=(az+b)/(cz+d) $ , così ho creato il sistema sostituendo in T al posto di z 1, 0, -i uguagliandoli rispettivamente a -1, 1, i. Dopo un po' di calcoli (sperando che siano giusti) ho trovato:
$ { ( a=-b ),( b=(2+i)/(1-4i)c ),( d=(5-2i)/(1-4i)c ):} $
A questo punto (e probabilmente è qui che sbaglio) ho posto c=1. Dopodiché ho fatto una verifica, cioè ho calcolato T(1) per vedere se effettivamente risultasse essere uguale a -1 e così non è stato. Non posso scegliere c=1? Perché? Mi aiutate a capire dove sbaglio?
Grazie
Ho alcuni problemi su esercizi del tipo:
"1) Determinare la trasformazione di Möbius T tale che T(1)=-1, T(0)=1 e T(-i)=i.
2) Determinare i punti i fissi di T.
3) Trovare l'immagine di $ A={z=x+iyin C | y=-3} $ tramite T."
Già al primo punto non mi trovo. Cioè una trasformazione di Möbius è del tipo: $ T(z)=(az+b)/(cz+d) $ , così ho creato il sistema sostituendo in T al posto di z 1, 0, -i uguagliandoli rispettivamente a -1, 1, i. Dopo un po' di calcoli (sperando che siano giusti) ho trovato:
$ { ( a=-b ),( b=(2+i)/(1-4i)c ),( d=(5-2i)/(1-4i)c ):} $
A questo punto (e probabilmente è qui che sbaglio) ho posto c=1. Dopodiché ho fatto una verifica, cioè ho calcolato T(1) per vedere se effettivamente risultasse essere uguale a -1 e così non è stato. Non posso scegliere c=1? Perché? Mi aiutate a capire dove sbaglio?
Grazie
Risposte
Non viene $a= -b$. Il fatto che si debba avere $T(0)=1$ implica $b/d=1$, cioè $b=d$.
Invece avremmo $a= -b$ se $T(1)=0$, ma questa condizione non c'è.
Dunque,
$T(z)= (az+b)/(cz+d)$ con $a,b,c,d in CC$ da determinare.
$T(0)=1 => b/d =1=> b=d$.
$T(1)= -1 => (a+d)/(c+d)= -1 => a+d = -c-d => a= -c-2d$.
$T(-i)= i=> (-(-c-2d)i+d)/(-ci+d)= i => (c+2d)i +d = c+di => c(i-1)= d(i-2i-1)=> $
$=> c= d (-i-1)/(i-1) = d (1+i)/(1-i)= d (1+i)^2/2 = d i$
Quindi ${(a= -d(2+i)),(b=d),(c= di):}$ da cui $T(z)= (-(2+i)z+1)/(zi+1)$
Tutto torna: $T(0)= 1/1 =1$, $T(1)= (-2-i+1)/(i+1)= (-i-1)/(i+1)= -1$
e $T(-i)= [(-2-i)(-i) +1]/[(-i)i +1]= [2i-1+1]/[1+1]= (2i)/2=i$.
Invece avremmo $a= -b$ se $T(1)=0$, ma questa condizione non c'è.
Dunque,
$T(z)= (az+b)/(cz+d)$ con $a,b,c,d in CC$ da determinare.
$T(0)=1 => b/d =1=> b=d$.
$T(1)= -1 => (a+d)/(c+d)= -1 => a+d = -c-d => a= -c-2d$.
$T(-i)= i=> (-(-c-2d)i+d)/(-ci+d)= i => (c+2d)i +d = c+di => c(i-1)= d(i-2i-1)=> $
$=> c= d (-i-1)/(i-1) = d (1+i)/(1-i)= d (1+i)^2/2 = d i$
Quindi ${(a= -d(2+i)),(b=d),(c= di):}$ da cui $T(z)= (-(2+i)z+1)/(zi+1)$
Tutto torna: $T(0)= 1/1 =1$, $T(1)= (-2-i+1)/(i+1)= (-i-1)/(i+1)= -1$
e $T(-i)= [(-2-i)(-i) +1]/[(-i)i +1]= [2i-1+1]/[1+1]= (2i)/2=i$.
"Gi8":
Non viene $a= -b$. Il fatto che si debba avere $T(0)=1$ implica $b/d=1$, cioè $b=d$.
Invece avremmo $a= -b$ se $T(1)=0$, ma questa condizione non c'è.
Scusami ho sbagliato io, ho dato le condizioni di un altro esercizio. In realtà abbiamo T(-1)=1, T(1)=0, T(-2i)=i. Però a questo punto credo che siano errori di calcolo. Ma lo sto facendo più volte e ancora non mi trovo.
Comunque grazie mille!!
E con le condizioni che hai usato tu, per trovare l'immagine come proseguo? Da T(z) devo trovarmi z giusto? Ovvero:
$ z=(w-1)/(-iw-(2+2i) $
A questo punto l'esercizio chiede che la parte immaginaria sia uguale a -3. Quindi mi scrivo w=u+iv?
Con le condizioni $T(-1)=1$, $T(1)=0$, $T(-2i)= i$ trovo $T(z)= (2+i) * (1-z)/(z+(5+2i))$.
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