Analisi complessa dubbio
Salve,ho un dubbio di analisi complessa: l'esercizio è quello di calcolare grazie al teorema dei residui, il seguente integrale improprio.
\( \int_{-\infty} ^{+\infty} \frac{z^2}{ (z^2+1)^2(z^2+2z+2)} \)
il problema non è la risoluzione con il calcolo dei residui ma la scelta degli zeri che si trovano sul semipiano strettamente positivo:
le singolarità della funzione sono:
\(z_0 = i \) polo del secondo ordine
\(z_1 = -i \) polo del secondo ordine
\(z_2 = -i+1 \) polo del primo ordine
\(z-3 = -i-1 \) polo del primo ordine
ora la soluzione mi dice che le singolarità che si trovano nel semipiano strettamente positivo sono i e -i+1...e io non ho capito perchè..
in generale so che un numero complesso si può scrivere come \( z=e^{x+iy}\) può centrare qualcosa? perchè un problema simile l'ho avuto anche in quest'altro caso:
calcolare \( \int_{-\infty} ^{+\infty} \frac{1}{z^3+i} \)
il problema (per me) in questo caso è calcolare le singolarità
ho pensato di cercare le z t. che \(z^3=-i\) in questo caso posso scrivere \(-i=-isen(\pi/2)=e^{-i\pi/2} \) e quindi
\(z_k = e^{-i\pi/6 + 2/3k\pi i} \) ma al professore le singolarità vengono:
\(z_1=e^{i\pi/6}\) e \(z_2=e^{i(\pi/6+2\pi/3)} \)
Si vede che ho qualche dubbio? grazie mille per l'attenzione!
\( \int_{-\infty} ^{+\infty} \frac{z^2}{ (z^2+1)^2(z^2+2z+2)} \)
il problema non è la risoluzione con il calcolo dei residui ma la scelta degli zeri che si trovano sul semipiano strettamente positivo:
le singolarità della funzione sono:
\(z_0 = i \) polo del secondo ordine
\(z_1 = -i \) polo del secondo ordine
\(z_2 = -i+1 \) polo del primo ordine
\(z-3 = -i-1 \) polo del primo ordine
ora la soluzione mi dice che le singolarità che si trovano nel semipiano strettamente positivo sono i e -i+1...e io non ho capito perchè..
in generale so che un numero complesso si può scrivere come \( z=e^{x+iy}\) può centrare qualcosa? perchè un problema simile l'ho avuto anche in quest'altro caso:
calcolare \( \int_{-\infty} ^{+\infty} \frac{1}{z^3+i} \)
il problema (per me) in questo caso è calcolare le singolarità
ho pensato di cercare le z t. che \(z^3=-i\) in questo caso posso scrivere \(-i=-isen(\pi/2)=e^{-i\pi/2} \) e quindi
\(z_k = e^{-i\pi/6 + 2/3k\pi i} \) ma al professore le singolarità vengono:
\(z_1=e^{i\pi/6}\) e \(z_2=e^{i(\pi/6+2\pi/3)} \)
Si vede che ho qualche dubbio? grazie mille per l'attenzione!
Risposte
Temo tu abbia sbagliato il calcolo degli zeri del denominatore.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2%29+%3D+0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 2%29+%3D+0
scusa ho sbagliato io di scrivere ho scritto un 1 al posto di una i (adesso edito)! quindi ora ho anche capito, grazie al tuo link, il mio primo dubbio..ma del secondo integrale non capisco come calcolare le singolarità..
Per il secondo dubbio: le radici cubiche di $-i$ sono 3. $z^3 = e^{i 3 \theta} = e^{ - i \pi/2}$ $\Rightarrow$ $\theta = - \pi/6 + 2/3 k \pi $.
Per $k = 0, 1 , 2$ ne trovi 3 (per gli altri valori di $k$ ottieni sempre queste).
Per $k = 0, 1 , 2$ ne trovi 3 (per gli altri valori di $k$ ottieni sempre queste).
Ok ti ringrazio!!!
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